2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（理工类）
第I 卷
注意事项：
1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2、本卷共8小题，每小题5分，共40分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B = e
（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8 【答案】A 【解析】
试题分析：{2,5,8}U B =e,所以{2,5}U A B = e，故选A. 考点：集合运算.
（2）设变量,x y 满足约束条件20
30230x x y x y +≥??
-+≥??+-≤?
，则目标函数6z x y =+的最大值为
（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40 【答案】
C
考点：线性规划.
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 （A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18
【答案】B 【解析】
试题分析：模拟法：输入20,1S i ==；
21,20218,25i S =?=-=>不成立； 224,18414,45i S =?==-=>不成立 248,1486,85i S =?==-=>成立 输出6,故选B. 考点：程序框图.
（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“2
20x x +-> ”的 （A ）充分而不必要条件
（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件 【答案】
A
考点：充分条件与必要条件.
（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若
2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为
（A ）
83 （B ）3 （C ）103 （D ）52
【答案】A 【解析】
试题分析：由相交弦定理可知，,AM MB CM MD CN NE AN NB ?=??=?，又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB CN NE CM MD ?=?∴?=?，所以
248
33
CM MD NE CN ??=
==，故选A.
考点：相交弦定理.
（6）已知双曲线()22
22
10,0x y a b a b
-=>>
的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦
点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为
（A ）
2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22
143
x y -=
【答案】
D
考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质. （7）已知定义在R 上的函数()2
1x m
f x -=- （m 为实数）为偶函数，记
()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为
（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C 【解析】
试题分析：因为函数()2
1x m
f x -=-为偶函数，所以0m =，即()21x
f x =-，所以
2
21
log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ?
?===-=-=-= ??
?
()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=
所以c a b <<，故选C.
考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.
（8）已知函数()()2
2,2,
2,2,
x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是
（A ）7,4??+∞
??? （B ）7,4??-∞ ??? （C ）70,4?? ???（D ）7,24??
???
【答案】D 【解析】
试题分析：由()()2
2,2,
2,2,
x x f x x x -≤??=?->??得222,0(2),0x x f x x x --≥??-=?
2,0
()(2)42,0222(2),2
x x x y f x f x x x x x x x ?-+
=+-=---≤≤??--+->?，
即222,0()(2)2,
0258,2x x x y f x f x x x x x ?-+
=+-=≤≤??-+>?
()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象
的4个公共点，由图象可知
7
2
b <<. 考点：1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.
第II 卷
注意事项：
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2、本卷共12小题，共计110分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 . 【答案】2- 【解析】
试题分析：()()()12212i a i a a i -+=++-是纯度数，所以20a +=，即2a =-.
考点：1.复数相关定义；2.复数运算.
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3
m
.
【答案】8
3
π 【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积2
2181221133
V πππ=??+????=. 考点：1.三视图；2.旋转体体积.
（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】1
6
【解析】
试题分析：两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积
()1
1
2
23001
112
36S x x dx x x ??=-=-= ????.
考点：定积分几何意义.
（12）在6
14x x ??- ?
?
? 的展开式中，2
x 的系数为 . 【答案】
1516
考点：二项式定理及二项展开式的通项.
（13）在ABC ? 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ?
的面积为，
1
2,cos ,4
b c A -==- 则a 的值为 .
【答案】8 【解析】
试题分析：因为0A π<<
，所以sin A ==
，
又1sin 242ABC S bc A bc ?=
===，解方程组224b c bc -=??
=?
得6,4b c ==，由余弦定理得
2222212cos 64264644a b c bc A ??
=+-=+-???-= ???
，所以8a =.
考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.
（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=
,动点E 和F
分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ
== 则AE AF ?
的最小值为 . 【答案】
2918
【解析】
试题分析：因为
1,9D F D C λ
= 12
D C A B
=
，
119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ
--=-=-== ，
AE AB BE AB BC
λ=+=+ ，
19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ
-+=++=++=+ ，
()
221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC
λλλλλλλλλ+++?????=+?+=+++? ? ?????
19199421cos1201818λλλλλ++=
?++???
?21171729
92181818
λλ=++≥=
当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ? 的最小值为29
18
. B
A
考点：1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.基本不等式.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分13分）已知函数()2
2
sin sin 6f x x x π??
=--
??
?
，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34
p p
-
上的最大值和最小值. 【答案】(I)
π; (II) max ()f x =
,min 1()2
f x =-.
考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质.
16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；
(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】(I)
635
; (II) 随机变量X 的分布列为
()52
E X =
【解析】
试题分析：(I)由古典概型计算公式直接计算即可； (II)先写出随机变量X 的所有可能值，求出其相应的概率，即可求概率分布列及期望. 试题解析：(I)由已知，有
22222333486
()35
C C C C P A C +==
所以事件A 发生的概率为
635
. (II)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4
()453
4
8(1,2,3,4)k k C C P X k k C -===
所以随机变量X 的分布列为
所以随机变量X 的数学期望()1512341477142
E X =?+?+?+?= 考点：1.古典概型；2.互斥事件；3.离散型随机变量的分布列与数学期望.
17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱
1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,
12,AC AA AD CD ===且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.
(I)求证：MN ABCD 平面； (II)求二面角11D -AC B -的正弦值；
(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为1
3
，求线段1E A 的长
【答案】(I)见解析； (II)； (III) 2.
【解析】
试题分析：以A 为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线MN 的方向向量与平面ABCD 的法向量，两个向量的乘积等于0即可；(II)求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余
弦值的大小，再求正弦值即可；(III) 设111A E A B λ=
，代入线面角公式计算可解出
λ的值，即可求出1A E 的长.
试题解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得
(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -，
1111(0,0,2),(0,1,2),(2,0,2),(1,2,2)A B C D -，又因为,M N 分别为1B C 和1D D 的中点，得
11,,1,(1,2,1)2M N ??
- ???
.
(I)证明：依题意，可得(0,0,1)n = 为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ??
=- ??
? ，
由此可得，0MN n ?=
，又因为直线MN ?平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD
(II)1(1,2,2),(2,0,0)AD AC =-= ，设1(,,)n x y z =
为平面1ACD 的法向量，则 1110
n AD n AC ??=???=??
，即22020x y z x -+=??=?，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n = ， 设2(,,)n x y z = 为平面1ACB 的一个法向量，则21200n AB n AC ??=???=??
，又1(0,1,2)AB = ，得 20
20y z x +=??
=?
，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-
因此有121212
cos ,n n n n n n ?==?
，于是12sin ,n n = 所以二面角11D AC B --
. (III)依题意，可设111A E A B λ= ，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+
，又(0,0,1)n =
为平面ABCD 的一个法向量，由已知得
1cos ,3
NE n NE n NE n ?==
=?
，整理得2430λλ+-=， 又因为[0,1]λ∈
，解得2λ=
，
所以线段1A E
2.
考点：1.直线和平面平行和垂直的判定与性质；2.二面角、直线与平面所成的角；3.空间向量的应用. 18.
（
本
小
题
满
分
13
分）已知数列
{}
n a 满足
*
212
(q )n N ,1,2
n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且 233445,,a a a a a a +++成等差数列.
(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221
log ,n
n n a b n N a -=
∈，求数列n ｛b ｝
的前n 项和. 【答案】(I) 12
22,2,.
n n n n a n -??=???
为奇数,
为偶数; (II) 1242n n n S -+=-.
【解析】
试题分析：(I)由()(
)()()
34234534a a a a a a a a +-+=+-+得4253a a a a -=- 先求出q ，分n 为奇数与偶数讨论即可；(II)求出数列{}n b 的通项公式，用错位相减法求和即可. 试题解析：(I) 由已知，有(
)()()()
34234534a a a a a a a a +-+=+-+，即4253a a a a -=-， 所以23(1)(1)a q a q -=-，又因为1q ≠，故322a a ==，由31a a q =，得2q =， 当21(*)n k n N =-∈时，112
212
2
n k n k a a ---===，
当2(*)n k n N =∈时，2
222n
k
n k a a ===，
所以{}n a 的通项公式为12
22,2,.n n n n a n -??=???
为奇数,
为偶数
考点：1.等差中项定义；2.等比数列及前n 项和公式.3.错位相减法.
19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为F -c （,0）,离心率为3
，
点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆42
2
+4b x y =截得的线段的长为c ，|FM|=3
.
(I)求直线FM 的斜率；
(II)求椭圆的方程；
(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP OP （O 为原点）的斜率的取值范围.
【答案】(I) ； (II) 22132x y += ；(III) ,3??-∞ ????
.
【解析】
试题分析：(I) 由椭圆知识先求出,,a b c 的关系，设直线直线FM 的方程为()y k x c =+，求
出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率k 的值； (II)由(I)设椭圆方程为22
22132x y c c
+=，直
线与椭圆方程联立，求出点M 的坐标，由FM =
可求出c ，从而可求椭圆方程.(III)
设出直线FP ：(1)y t x =+
，与椭圆方程联立，求得t =>x 的范围，
即可求直线OP 的斜率的取值范围.
试题解析：(I) 由已知有2213
c a =，又由222a b c =+，可得223a c =，22
2b c =，
设直线FM 的斜率为(0)k k >，则直线FM 的方程为()y k x c =+，由已知有
2
22
22c b ????+= ? ?????
，解得k =. (II)由(I)得椭圆方程为22
22132x y c c
+=，直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程联立，消去y ，
整理得
223250x cx c +-=，解得5
3
x c =-或x c =，因为点M 在第一象限，可得M
的坐标为
c ?? ???
，由3FM ==
，解得1c =，所以椭圆方程为22132
x y += (III)设点P 的坐标为(,)x y ，直线FP 的斜率为t ，得1
y
t x =
+，即(1)y t x =+(1)x ≠-,与椭圆方程联立22(1)13
2y t x x y =+???+=??，消去y ，整理得222
23(1)6x t x ++=
，又由已知，得
t = 3
12
x -
<<-或10x -<<， 设直线OP 的斜率为m ，得y
m x
=
，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223
m x =
-. ①当3,12
x ??∈-- ???
时，有(1)0y t x =+<，因此0m >
，于是m =
m ∈??
②当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <，于是m =，得
,m ?∈-∞ ?
?
综上，直线OP 的斜率的取值范围是,3??-∞ ????
考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式. 20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.
(I)讨论()f x 的单调性；
(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；
(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a
x x n
<
+- 【答案】(I) 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.
试题解析：(I)由()n
f x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，
下面分两种情况讨论：
（1）当n 为奇数时：
令()0f x '=，解得1x =或1x =-，
当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：
所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. (2)当n 为偶数时，
当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.
所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则11
0n x n
-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处
的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即
()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-
由于1()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为
0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时， 0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()
F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有
0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.
(III)证明：不妨设12x x ≤，由(II)知()()20
()g x n n
x x =--，设方程()g x a =的根为2
x '，
可得
202
.a
x x n n '=
+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由(II)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.
类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当
(0,)x ∈+∞，
()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <
设方程()h x a =的根为1x '，可得1a
x n
'=
，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且
考点：1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全套统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。 （1）A （2）C （3）B （4）A （5）A （6）D （7）C （8）D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。 （9）-2 （10）83π （11）
16
（12）
1516 （13）8 （14）2918
三、解答题
（15）本小题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，三角
函数的最小正周期、单调性等基础知识。考查基本运算能力。满分13分。 （I ）解：由已知，有
1cos(2)
1cos 23()22x x f x π
---=-
=111cos 22cos 2222x x x ??- ? ???
112cos 2sin 2426x x x π??
=
-=- ???
所以，()f x 的最小正周期T=
22
π
π= (II)解：因为()f x 在区间,36ππ??--????上是减函数，在区间,64ππ??
-????
上是增函数，134f π??-=- ???，162f π??-=- ???
，44
f π??
=
???.所以，()f x 在区间,34ππ??-????上的最大值
12-.
（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.
（I ）解：由已知，有
222223334
86
()35
C C C C P A C +== 所以，事件A 发生的概率为
6
35
. （II ）解：随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.
4534
8
()(1,2,3,4).k k
C C P X k k C -=== 所以，随见变量X 的分布列为
随机变量X 的数学期望()1331512341477142
E X =?
+?+?+?=
（17）本小题主要考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。
满分13分.
如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)A ,(0,1,0),B (2,0,0)C ,(1,2,0)D -,
1(0,0,2)A ,1(0,1,2),B 1(2,0,2),C (1,2,2)D -.
又因为M,N 分别为1B C 和1D D 的中点， 得11,,12M ?? ???
,(1,2,1)N -.
(I)证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面
ABCD 的一个法向量. MN =50,,02?
?- ??
?.由此可得
MN n =0，又因为直线MN ?平面ABCD ，所以
MN MN ∥平面ABCD .
（II ）解：1(1,2,2)AD =-，(2,0,0)AC =.设1(,,)n x y z =为平面1ACD 的法向量，则
1110,0,
n AD n AC ?=??=??
即220,
20.x y z x -+=??=?不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =. 设2(,,)n x y z =为平面1ACB DE 法向量，则1110,0,
n AB n AC ?=??=?? 又1AB
(0,1,2)=，得
20,
20.
y z x +=??
=? 不妨设z=1，可得2(0,2,1)n =-.
因此有121212cos ,n n n n n n =
=
，于是12sin ,10n n =. 所以，二面角11D AC B --
的正弦值为
10
。 （III ）解：依题意，可设111,A E A B λ=
，其中[]0,1λ∈，则()0,,2E λ，从而()1,2,1NE λ=-+
。又()0,0,1n =为平面ABCD 的一个法向量，由已知，得
cos ,NE n = NE n NE n
=
=
1
3
，整理得2430λλ+-=，又因为[]0,1λ∈
，解得2λ=. 所以，线段1A E
2.
(18)本小题主要考查等比数列及其前n 项和公式、等差中项等基础知识。考查数列求和的基本方法、分类讨论思想和运算求解能力.满分13分.
（I ）解：由已知，有()()()()34234534a a a a a a a a +-+=+-+，即4253a a a a -=-，所以()()2311a q a q -=-.又因为1q ≠，故322a a ==，由31a a q = ，得2q =. 当21()n k k N *=-∈时，1
1
2
212
2
n k n k a a ---===；
当2()n k k N *
=∈时，2
222n k
n k a a ===.