第四章 不定积分
习 题 4-1
1.求下列不定积分： （1）解：C x x x x x
x x x x
+-=-=
-??-
25
232
122d )5(d )51(
（2）解：?+x x x
d )32(2
C x
x
x
++
?+
=3
ln 29
6
ln 6
22
ln 24
（3）略. (4) 解：?
??-+
-=
+-x x x x x x x d )1(csc
d 1
1d )cot
1
1(
2
2
2
2
=C x x x +--cot arcsin
(5) 解：?x x
x d 2103 C x x x
x
x
x +=
==??80
ln 80
d 80
d 810
(6) 解：x x d 2
sin 2
?=C x x x x ++=
-=
?sin 2
12
1d )cos 1(2
1
(7)?
+x x
x x d sin cos 2cos C x x x x x x x
x x
x +--=-=
+-=
??
cos sin d )sin (cos
d sin cos sin
cos 2
2
(8) 解：?
x x
x x d sin
cos
2cos 2
2
??
-
=
-=
x x
x
x x
x x
x d )cos
1sin
1(
d sin
cos sin
cos
2
2
2
2
2
2
C x x +--=tan cot
(9) 解： ???-=-x x x x x x x x x d tan sec d sec
d )tan (sec sec 2
=C x x +-sec tan
(10) 解：},,1max{)(x x f =设??
?
??>≤≤--<-=1,11,11,)(x x x x x x f 则.
上连续在),()(+∞-∞x f ，
)(x F 则必存在原函数，????
???>+≤≤-+-<+-=1,2
1
11,
1,21)(32212
x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F
)2
1(lim )(lim 12
1
21
C x C x x x +-
=+-+-→-→ ，,2
1112C C +-
=+-即
)(lim )2
1(
lim 21
32
1
C x C x x x +=+-+→→ ，,12
123C C +=+即
,1C C =联立并令
.1,
2
132C C C C +==
＋可得
.1,
12111,211,21},1max{2
2
???
?
?
?
???>++≤≤-++-<+-=?x C x x C x x C x dx x 故
2. 解：设所求曲线方程为)(x f y =，其上任一点),(y x 处切线的斜率为
3
d d x x
y =，从而
?
+=
=
C x x x y 4
3
4
1d
由0)0(=y ，得0=C ，因此所求曲线方程为 4
4
1x y =.
3.解：因为 x x x cos sin sin 212
='??? ??，x x x sin cos cos 2
12
='
??
?
??-
x x x x cos sin 2sin 212cos 41=='
??
?
??-
所以
x 2
sin
21、 x 2
cos
2
1-
、 x 2cos 4
1-
都是x x cos sin 的原函数.
习 题 4-2
1.填空. (1)
2
1x
x d = d (x
1-
+ C) (2)
x x
d 1 = d (x ln + C)
(3)x e x d = d (x
e + C) (4) x x d sec 2 = d (x tan + C)
(5)x x d sin = d (x cos -+ C) (6) x x d cos = d (x sin + C) (7)
x x
d 112
- = d (x arcsin + C) (8)
x x
x d 12
- = d (2
1x
-+ C)
(9)x x x d sec tan = d (x sec + C) (10) x x d 1
12
+ = d (x arctan + C)
(11)
x x
x d )1(1+ = d (2x arctan + C) (12) x x d = d (
2
2
x
+ C)
2.求下列不定积分： (1) 解：?
+x x x d 4
2
)4d()
4(2
1)2
4d(
4
12
2
12
2
2
++=
++=
??
-
x x x x
=C x C x ++=
++4)4(2
212
(2) 解：x x
x
d ln
4
?
C x
x x +=
=
?5
ln
)d(ln ln
5
4
(3) 解：?
x x
e x d 2
1
C e x
e x x
+-=-
=
?1
1)1d(
(4) 解：?++x e e e x x x d )22(32C e e
e
e e
e
x
x
x
x
x
x
+++
=
++=
?22
13
1)d()22(4332
(5) 解：?
-2
94d x
x C x x x x x +=-=
-=
?
?
2
3arcsin
3
1)
2
3(
1)
2
3d(
3
1)
23(
12d 2
2
(6) 解：x x x x d )
ln (ln 12
?+C x
x x x x x +-
==
?ln 1)ln d()
ln
(12
(7) 解：x x
x x d ln ln ln 1
?1
1
d(ln )d(ln ln )ln |ln ln |ln ln ln ln ln x x x C
x x
x =
=
=+??
(8) 解：?
-+x e
e x
x d 1C e e e
x
x
x
+=+=
?arctan )d(1
1
2
（9
）解：2
2
1
1
()(12)2
4
x x x C
=-
-=-
-=+??
（10）解：322
2
2
2
2
1
33d d 332
3x
x
x x x x dx x
x
x
+-=
=+++?
?? 2
2
2
2
2
13
1
131(3)ln(3)2
232
2
dx d x x x C
x
=
-+=-
+++??
（11
）解：3x x x
=
+?
?
2
234)3
8
x x =
+
-?
?
2arcsin
3x C
=+
+
（12）解：2
11
111d d d 2
(2)(1)
321x x x x x x x x x ??
=
=
- ?---+-+??
?
??
12ln 31
x C
x -=
++
（13）解：2111sin ()d (1cos 2())cos 2()2()22
4t t t dt dt t d t ω?ω?ω?ω?ω
+=
-+=
-
++???
?
1
1sin cos 2()2
4t t C
ω?ω
=
-
++
（14
）解：3
1d cos (arccos )
x x arc x x =
=-?
?
2
1(cos )
2
arc x C
-=+
（15）解：2
ln cot ln cot 1
ln cot 1
ln cot d d csc d d cot sin 22sin cos 2
cot 2
cot x x
x x x x x x x
x
x x
x x
=
=
=-
?
???
2
11ln cot d ln cot (ln cot )2
4
x x x C
=-
=-
+?
（16
）解：222arctan
arctan
(1)
x x ===+?
?
?
2
(arctan C
=+
(17) 解：?x x d cos 4
x x
x x x
d 4
2cos 2cos 21d )22cos 1(
2
2
?
?++=
+=
x x
x d )4
2cos 2
2cos 4
1(
2
+
+=
? +
+=
4
2sin x
x x x
d 2
4cos 1?
+
+
+=
4
2sin 3x
x C x +4
4sin
(18) 解：x x
x x
x d cos sin cos sin 3
?
-+C x x x x x
x +-=--=
?
32
3
)cos (sin 2)cos d(sin cos sin 1
(19) 解：?x x d cos 3
?=
x x x d cos cos
2
)d(sin sin
12
?-=x x C x
x +-
=3
sin
sin 3
(20) 解：x x
x
d 110
2
arccos ?
--
=-=?)d(arccos 10
arccos x x
C x
+10
ln 10
arccos
(21) 解：x x
x d 1arcsin 2
?
-C x
x x +=
=
?2
arcsin
)d(arcsin arcsin 2
(22) 解：?
x x
x d sin cos C x x x
+==
?
sin 2)d(sin sin 1
(23) 解：?x x x d cos
sin
5
3
??--==x x x x x x cos d cos )cos
1(cos d cos sin
5
2
52
C x x +-=6
8
cos
61cos 8
1
(24) 解：35tan sec d x x x =
???-=
x x x x x x sec d sec
)1(sec
sec d sec
tan
4
2
4
2
C x x x +-
=5
7
sec
5
1sec 7
1
(25) 解：C x x x x
x x x x ++
-
=-=?
?cos 2
19cos 18
1d 2
sin 9sin d 4sin 5cos
(26) 解：?x x x d sec
tan
4
3
??+=
=x x x x x x tan d )1(tan
tan
tan d sec
tan
2
3
2
3
C x x x ++
=5
6
tan
4
1tan 6
1
(27) 解：令t x =6，则6t x =，t t x d 6d 5=，代入原式得
C t t t t t t t t t
x x x +-=+-+=+=
+
?
??
arctan 66d 1
116d 6)
1(1
d )
1(12
2
5
2
3
3
=C x x +-6
6arctan
66
(28) 解：设2tan ,sec x t dx tdt ==
，则2
1
td d sect x t t =
=
??
?
sin t C C
=+=
(29) 解：)1d(
1)1(1
)1d(1
)1(1d 112
2
2
2
x
x
x x
x
x x x
x
?
?
?
-=-
-±=-
)1)1
d((
1)1(122
2
--=?
x
x
1)1
(22
-=x C x
x +-=2
12
（30）解:设3sec ,3sec tan x t dx t tdt ==，则
2
2
33tantdt tan (sec 1)26sec 2
2
x tdt t dt x
t =
?=
=
-??
333(tan 1)arccos
)22
2t C x
=-+=+
（31）解:设2sin ,2cos x t dx tdt ==
，则2
2
2
=4sin dt x t =
?
?
12(1cos 2)dt =22sin cos 2arcsin
2
2
x t t t t C C
=--+=-
?
（32）解: 2
2
111d 2323
3
1
3
x dx x x x x =
+++
+?
?
2
1111()183
3
3
4
4
()3
9
33
dx x C x =
=
+=
++
+
?
（33）解:
1)
2
2
4
x x x =
=
+
12
4
x C
=
+
++
（34）解:
1)
2
x x x =
=
-?
arcsin
1)5
x C
=-+
习 题 4-3
求下列不定积分 （1）解：?x x x d 2sin )2cos d(2
1
?-=
x x ?+
-
=x x x x d 2cos 2
1
2cos 2
C x x x ++
-
=2sin 4
12cos 2
（2）解：?-x xe x d C e xe x e xe e x x x x x x +--=+-=-=-----??d d （3）解：?x x x d ln 2
?
?
?-
=
-
=
=
x x
x x
x x
x x
x
x d 3
ln 3
)d(ln 3
ln 3
)3
d(
ln 2
3
3
3
3
C x
x x
+-
=
9
ln 3
3
3
（4）略.
（5）解：?x x x d cos 2???-
=-==
x x x x x x
x x x x x d sin
2sin d sin sin sin d 2
2
22
x x x x x x x x x x d cos 2cos 2sin cos d 2sin 2
2
??-+=+
=
C x x x x x +-+=sin 2cos 2sin 2
（6）解：因为?-x x e x d 2sin ?--=x e x d 2sin )2d(sin 2sin ?--+-=x e x e x x
)d(2cos 22sin ?----=x
x
e x x e )2d(cos 22cos 22sin ?---+--=x e x e x e x
x x ?------=x x e
x e
x e
x
x
x
d 2sin 42cos 22sin
于是?-x x e
x
d 2sin C x
e
x e
x
x
+--=
--52cos 22sin
（7）解：?x x x d arctan 2
?
?-
=
=
x x
x x
x
x arctan d 3
arctan 3
3
d
arctan
3
3
3
?+-
=
x x
x
x x
d 131
arctan 32
33
?+-+-
=
x x
x x x x x
d 13
1
arctan 3
2
3
3
C x x x x
+++-
=
)1ln(3
1arctan 3
2
2
3
（8）解：?x x x d cos 2
??
+=
+=
x x x x x x
x
d )2cos (2
1d 2
2cos 1?+
=
x x x x
d 2cos 2
14
2
?+
=
x x x
2sin d 4
1
42
?-
+
=
x x x x x
d 2sin 4
12sin 4
14
2
C x x x x
+-
+
=
2cos 8
12sin 4
14
2
（9）解：?
x x x
d arcsin
1?
?-==x x x x x x arcsin d 2arcsin
2d arcsin
2
?--
=x x
x x d 11arcsin 2C x x x +-+=12arcsin 2
（10）解：?x e
x x
d 32x
x
x
x
x
e
x e x x xe
e x e
x 33233232d 9
23
d 3
23
d 3
1?
?
?
-
=
-
=
=
C e xe
e x x
x
x
++
-
=
3332
27
29
23
（11）解：因为?x x d ln cos ??+
=
-=x x x x x x x x d ln sin ln cos ln cos d ln cos
?-+=x x x x x x ln sin d ln sin ln cos ?-
+=x x x x x x d ln cos ln sin ln cos
于是?x x d ln cos C x
x x x ++=
2
ln sin ln cos
（12）解：?''x x f x d )(C x f x f x x x f x f x x f x +-'='-
'='=
?
?)()(d )()()(d
习 题 4-4
求下列不定积分 （1）解：?
-x x x
d 13
???
-+
++=
-+-=
x x x x x x x x d 11
d )1(d 1
112
3
C x x x
x
+-+++
=
1ln 2
3
2
3
（2）解：?
--+x x
x x x d 83
4
5?
?---+++=
x x
x x x x x x
d 8d )1(3
2
2
??+-
--
+++=
x x x x
x x x d )1
31
48(
d )1(2
C x x x x x
x
++---+++
=
1ln 31ln 4ln 82
3
2
3
（3）解：?
+-++x x x x x d )
1)(2(13222
2
2
x x d 2
1
?-=
x x
x x x x d )
1(4
3d 122
2
2
??
+--+
+--+
x x
x
x x x x x x d )
1(4
)
1()
1d(2
3d 1
121
)1d(2
12ln 2
2
2
2
2
2
2
2
???
?
+-
++-
+-++-
-=
C x x x x x x x +-+-
++
-+-
-=arctan 21
2)
1(23arctan 2)1ln(2
12ln 2
2
2
（上式最后一个积分用积分表公式28） （4）解：?
-+-x x x x x d )
1(41162
2
?--
-+
=
x x x x
d ])
1(11
24[
2
C x x x +-+
-+=1
1
1ln 2ln 4C x x x +-+-=1
1)1(ln 22
（5）解：?
-+-x x x x x
d 1
2
3
x x
x x
d )
1)(1(2
?+-=
x
x
x x x
d 1
1
21
1
d 21
2
??+--
-=
C x x x ++
+--=arctan 2
1)1ln(4
11ln 2
12
（6）解：?
+x
x 2
sin
3d ?-=
x
x
2cos 7d 2x
u tan =?+2
43d u
u
?+=
2
)
32(
1d 3
1
u u
C x
+=
3
tan 2arctan
3
21
（7）解：?
++
3
11d x
x 3
1x
t +=
?
+t
t t 1d 32
t t
t d )111(3?++
-=C
t t t +++-=
1ln 2
32
（8）解：x x
x x d 11?
-+x
x t -+=
11?+-t t t
t
d )
1)(1(42
2
2t
t t t d )1
21
11
1(
2
?++
+-
-=
C t t t +++-=arctan 21
1ln
习 题 4-5
利用积分表计算下列不定积分： （1）?
+-2
45d x
x x
解：因为?
+-2
45d x
x x ?
-+-=
2
)
2(1)2d(x x
在积分表中查得公式（73）
C a x x a
x x +++=+?
)ln(d 2
22
2
现在1=a ，2-=x x ，于是 ?
+-2
45d x
x x C x
x x +-+-+
=)245ln(2
（2）?x x d ln 3
解：在积分表中查得公式（135）
??--=x x n x x x x n n n
d ln
)(ln d ln
1
现在3=n ，重复利用此公式三次，得
?x x d ln
3
C x x x x x x x +-+-=6ln 6ln
3ln
2
3
.
（3）x x d )
1(12
2
?
+
解：在积分表中查得公式（28）
??++
+=
+b
ax
x
b b ax
b x x ax
b 2
2
2
2
d 21)
(2d )
(1
于是现在1=a ，1=b ，于是
=+?x x
d )
1(1
2
2
C x x x
x
x
x x +++=
++
+?arctan )
1(21
d 21
)
1(22
2
2
（4）?
-1
d 2
x x x
解：在积分表中查得公式（51）
C x
a a
x a
x x +=
-?
arccos
1d 12
于是现在1=a ，于是
?
-1
d 2
x x x C x
+=1arccos
（5）x x x x d 22
2
-?
解：令1-=x t ，因为
x x x x
d 22
2
-?x x x
d 1)1(2
2
--=
?t t t t
d 1)12(2
2
-++=
?
由积分表中公式（56）、（55）、（54）
C a
x x a
a
x a x x x a x x +-+-
--=
-?
2
22
2
2222
22
ln 8
)2(8
d
C a x x a x x +-=
-?
3
2
2
2
2
)(3
1d
C a
x x a
a
x x x a x +-+-
-=
-?
2
22
2
2
2
2ln 2
2
d
于是
x x x x
d 22
2
-?
2
222)1())1(2[8
1a
x a x x -----=
C
a x a
x x a +--+
--+--
3
222
22
])1[(3
1)1(1ln 8
5.
（6）?
-1
2d 2
x x
x
解：在积分表中查得公式（16）、（15）
??+-
+-
=+b ax x
x b
a bx
b ax b ax x
x
d 2d 2
C b
b
ax b
b
ax x
x +-+-=+?arctan
2d
于是现在2=a ，1-=b ，于是
=-?1
2d 2
x x
x
?-+
-1
2d 12x x
x x
x C x x
x +-+-=
12arctan 212
（7） ?x x d cos 6
解：在积分表中查得公式（135）
??----
=x x n
n x x n
x x n n n
d cos
1sin cos
1d cos
2
1
现在6=n ，重复利用此公式三次，得
?x x d cos
6
C x x x x ?x x ++
+
+
=
)2
2sin 4
1
(
2415
sin cos 24
5sin cos
6
13
5
.
（8）x x e x d 3sin 2?-
解：在积分表中查得公式（128）
C bx b bx a e
b
a x bx e ax
ax
+-+=?)cos sin (1d sin 2
2
现在2-=a ，3=b ，于是
C x x e
x x e
ax
x
+--=?-)3cos 33sin 2(131d 3sin 2 C x x e
ax
++-=)3cos 33sin 2(131.
本章复习题 A
一、填空. （1）已知)(x F 是
x
x sin 的一个原函数，则))(d(2
x F = x x
x d sin 2
2
.
（2）已知函数)(x f y =的导数为x y 2='，且1=x 时2=y ，则此函数为 12
+=x y .
（3）如果
?
+=C x x x x f ln d )(，则)(x f = 1ln +x .
（4）已知?++=C x x x x f sin d )(，则?+x e f e x x d )1(=C e e x
x ++++1)1sin(.
（5）如果
?
+=C x x x x f 2
sin
d cos )(sin ，则)(x f =x 2.
二、求下列不定积分.
（1）解：x x
x
d 2cos 1cos
12
?
++x x x d 1
cos
21cos
12
2
?-++=
x x
x
d cos
cos 12
1
2
2
?+=
x x d )sec
1(2
?+=
C x x ++=tan
（2）解：?
+x
e
x 1d ?
?----++-=+=
x
x
x
x
e
e
e
x
e
1)
1d(1d C e x
++-=)1ln(
（3）解：x x
x
x d 4
2532??-?x x x
x d )21(5d )43(2??-=C x
x
++-=-2ln 254ln 3ln )43(2 （4）解：x x d )(arcsin 2?x x
x x x x d 1arcsin 2arcsin
2
2
?-?
-=
2
2
1d arcsin 2arcsin x
x x x --=?
x x x x x x arcsin d 12arcsin 12arcsin
2
2
2
?-+--=
C x x x x x ++--=2arcsin 12arcsin
2
2
（5）解：令1+=
x t ，则12-=t x ，于是
?+1
d x x
x C t t t t t t
t
t
t
t
t ++-=+-
-=
-=
-=
???1
1ln
d )1
11
1(
1
d 2)1(d 22
2
（6）解：x x x
d )
1(2
2
3
?
+x x
x
x x
x
x x x
x
x d )
1(d 1d ])
1(1[
2
2
2
2
22
???+-
+=
+-
+=
C x x +++
+=)
1(21
)1ln(2
12
2
（7）解：?
-2
2
1)
(arcsin d x
x x
C x
x x +-
==
-?arcsin 1)d(arcsin )
(arcsin 2
（8）解：x x
x d 4912
?
--=
x x
x x x
d 49d 491
2
2
?
?
--
-
)49d(4918
1)3
2d(
)
32(
123
3
12
2
2
x x
x x --+
-=?
?
C x
x +-+
=
2
494
13
2arcsin
2
1
（9）解：?x x x d sec tan
4
5
=
=
?x x x sec d sec tan
3
4
?-x x x sec d sec )1(sec
3
22
?+-=
x x x x sec d )sec sec
2(sec
3
5
7
C x
x
x ++
-=
4
sec
3
sec
8
sec 4
6
8
（10）解：令t x sin =，)2
π
,2π(-
∈t ，于是 ?
-+
2
11d x
x ?
??
?-
=+-
=+-+=
+=
2
cos
)2d(cos 1d d cos 11cos 1cos 1d cos 2t t t t
t
t t t t t
t
t C x
x x C t t t
t x C t t +---=+-
=+-=2
11arcsin 2
sin
2
cos
22sin 2sin
2arcsin 2
tan
（11）解：?x e x x
d 2
3
C e
e
x x
e
e x e
x x
x
x
x
x
+-
=
-
=
=
??2
2
2
2
2
2
12
1d 2
12
1d 2
1
2
2
2
2
（12）解：x
x
x
d ln ln ?
C x x x +=?ln ln ln d ln
ln
三、设 1100,2,1,
1)(>≤≤
?
??+=x x x x x x f ，求?x x f d )(.
解：上连续在),()(+∞-∞x f ，)(x F 则必存在原函数
，使得
1
100,
,
2
1,
)(3222
1>≤≤
??++++=x x x C x C x x C x x F ， 须处处连续，有
又)(x F
)2
1(
lim )(lim 22
10
C x x C x x x ++=++--→-→ ，即,21C C =
.
)2
1(
lim )(lim 22
1
32
1
C x x C x x x ++=+-+→→ ，即 232
31C C +=
+
,1C C =联立并令
.1,
2132C C C C +==＋可得
故?
x x f d )(1
100,21
,21,22
>≤≤
?
??
???
+++++=x x x C x C x x C x . 四、若,d tan
I ?=
x x n
n ,,3,2 =n 证明：21
tan
1
1----=
n n n x n I I .
证明：因为
?=x x n
n d tan I ??-==--x x x x x x n n d )1(sec tan d tan tan
2
2
2
2
??---
=
x x x x x n n d tan
d sec
tan
22
2
??---
=
x x x x n n d tan
tan d tan
2
2
21
tan
1
1----=n n x n I
故 21
tan
1
1----=
n n n x n I I .
本章复习题B
一、填空. （1） x
e
x
121--
； （2） c x x +-
3
3
1； （3）
2123
25
3
415
4c x c x x +++
（4） c e
x x
+---2
)12(2
二、求下列不定积分.
（1）x e
e x
x
d arctan 2?
解：=?
x e
e x
x
d arctan 2x
x e
e 2d arctan 2
1-?-
=]d 1)
(11
arctan [2
122
2x e
e e
e e
x
x
x
x
x
?+-
-
-
=]d )11(
arctan [2
122x e
e
e
e e
x
x x
x
x
?+-
-
-
-=C
e e
e e
x
x
x x
+++-
--)arctan arctan (2
12。
（2）?
+x
x dx
sin 22sin
解：令2
tan x t =，则2
12sin t
t x +=，2
211cos t
t x +-=
，dt t
dx t x 2
11,arctan +=
=。于是
C x x dt t t x
x dx ++=+=
+??2
tan 8
1
2tan ln 41)1(41
sin 22sin
2
（3
）ln(x dx +
?
；
解：ln(x dx +
?
ln(ln(x x xd x =?+-
+
?
ln(xdx x x =?+
-
?
ln(x x C =?+
-+。
（4）?
-dx e xe
x x
1
解：令1-=
x
e u ，则),1ln(2
u x +=,122
du u
u dx +=
于是有
du u
u u u u dx e xe
x x
2
2
212)
1ln()1(1
+++=
-?
?
du u ?+=)1ln(22
?+-
+=du u
u
u u 2
22
14)1ln(2C u u u u ++-+=arctan 4)1ln(22
C e e e x x
x
x
+-+---=1arctan
1412。
(5)略，（6）略, （7）略, （8）略, （9）略. 三、略.
四、设)(x F 是)(x f 的原函数，且当0≥x 时，有,2sin
)()(2
x x F x f =又1)0(=F ，
0)(≥x F ，求)(x f .
解：因)(x F 是)(x f 的原函数，则)(x f =)(x F '.于是
)()()()(2sin
2
x F x F x F x f x '==
上式两端积分得：
x x F x F x x d )()(d 2sin
2
??'=
C x x x F +-=
8
4sin 2
2
)(2
又1)0(=F ，0)(≥x F ，得2
1=C ，故14
4sin )(+-
=x x x F
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案：B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （ ） A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=，所以= )(x f x x cos 答案：C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形 解：1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解：1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u ，v '的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dx v '，即dv dx v ='，使积分变为?udv ；②代公式，?udv ?-=vdu uv ，计算出dx u du '=；③计算积分?vdu 解：?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所
示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质：①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)| b a，即∫b a f(x)d x＝F(x) |b a＝F(b)－F(a)． 课前预测： 1.∫421 x d x等于( ) A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2
【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1（α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 ①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 数乘运算 加减运线性运 （8
释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）c x dx a x a x ++??++?22ln 1 22 （12）分段函数的积分 例题说明：{} dx x ??2,1max （13）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19）其他形式的不定积分 2.补充知识（课外补充） ☆【例谈不定积分的计算方法】☆ 1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法 （1）定义：若函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c 0,(c 0为某个常数），则Φ(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c （2）一般积分方法 值得注意的问题：
第四章 不定积分 习 题 4-1 1.求下列不定积分： （1）解：C x x x x x x x x x +-=-= -??- 25 232 122d )5(d )51( （2）解：?+x x x d )32(2 C x x x ++ ?+ =3 ln 29 6 ln 6 22 ln 24 （3）略. (4) 解：? ??-+ -= +-x x x x x x x d )1(csc d 1 1d )cot 1 1( 2 2 2 2 =C x x x +--cot arcsin (5) 解：?x x x d 2103 C x x x x x x += ==??80 ln 80 d 80 d 810 (6) 解：x x d 2 sin 2 ?=C x x x x ++= -= ?sin 2 12 1d )cos 1(2 1 (7)? +x x x x d sin cos 2cos C x x x x x x x x x x +--=-= +-= ?? cos sin d )sin (cos d sin cos sin cos 2 2 (8) 解：? x x x x d sin cos 2cos 2 2 ?? - = -= x x x x x x x x d )cos 1sin 1( d sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 C x x +--=tan cot (9) 解： ???-=-x x x x x x x x x d tan sec d sec d )tan (sec sec 2 =C x x +-sec tan (10) 解：},,1max{)(x x f =设?? ? ??>≤≤--<-=1,11,11,)(x x x x x x f 则. 上连续在),()(+∞-∞x f ， )(x F 则必存在原函数，???? ???>+≤≤-+-<+-=1,2 1 11, 1,21)(32212 x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F )2 1(lim )(lim 12 1 21 C x C x x x +- =+-+-→-→ ，,2 1112C C +- =+-即
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1
1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=？11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。
2018考研高数重点复习定积分与不定积 分定理总结 在暑期完成第一轮基础考点的复习之后，9月份开始需要对考研数学所考的定理定义进行必要的汇总。本文为同学们整理了高数部分的定积分与不定积分定理定义汇总。 ?不定积分 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x ∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 ●分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 ?定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 ●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。 ●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。 3、定积分的若干重要性质 ●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 ●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。 ●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx ≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 ●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a ?定积分的应用 1、求平面图形的面积(曲线围成的面积) ●直角坐标系下(含参数与不含参数) ●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2) ●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程) ●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积) ●功、水压力、引力 ●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)
第四章 不定积分 知识结构图： ???????? ???????????????????????分部积分法第二换元积分法 第一换元积分法直接积分法求不定积分基本公式性质 几何意义定义不定积分原函数 教学目的要求： 1．理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不 定积分的几何意义与基本性质。 2．理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一 类换元积分法、第二换元积分法（代数换元）、分部积分法求不定积分。 3．了解不定积分在经济问题中的应用。 教学重点： 1．原函数与不定积分的概念 2．不定积分的性质与基本积分公式 3．直接积分法 4．换元积分法 5．分部积分法 教学难点： 1．不定积分的几何意义 2．凑微分法、分部积分法求不定积分 第一节 不定积分的概念与基本公式 【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。 【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。 【教学重点】1．原函的概念；2.不定积分的概念；3.不定积分的几何意义；4.不定积分的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。 【教学难点】1．理解不定积分的几何意义；2．记忆不定积分公式。 【教学时数】2学时 【教学进程】
一、原函数与不定积分的概念 (一)原函数的概念 前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题， 如：①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为x k 2=,求此曲线的方程。 ②已知某产品的边际成本MC ，要求该产品总成本的变化规律()C C q =． １．原函数定义 定义4．1 设)(x f 是定义在区间I 内的已知函数．如果存在可导函数)(x F ，使对于任意的I x ∈，都有 )()(x f x F ='或dx x f x dF )()(= 则称函数)(x F 是函数)(x f 的一个原函数。 例1 指出下列函数的原函数: ①x x f cos )(= ②23)(x x f = ③x a x f =)( ④x x f 1)(= 教师将举例分析：如(cos )sin x x '-=，则cos x -是sin x 在R 上的一个原函数。 2()2x x '=，则 2x 是2x 的一个原函数。 教师再问：（1）是否所有的函数都有原函数？什么样的函数才有原函数存在呢？在此， 我们不作讨论．我们只给出一个重要的结论． 结论：如果函数()f x 在某区间上连续，则其原函数一定存在 （2）25x +是不是2 x 在R 上的一个原函数呢？学生回答：是 （3）提出一个函数若存在原函数，则有几个呢？引入 2.原函数个数 定理4．1 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +也是()f x 的原函数，且()f x 的所有原函数都具有()F x C +的形式（C 为任意常数）． (二)不定积分的概念 教师指出：在以上的分析中我们看到一个函数()f x 有原函数存在，则有无数多个，它们都可以表示为()F x C +的形式，我们把它叫做()f x 的不定积分。 １．不定积分定义 定义4．2 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数，则称()f x 的全体原函数()F x C +（C 为任意常数）为()f x 的不定积分，记作 C x F dx x f +=?)()(
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？
不定积分内容概要
课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? （ ） ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ??
★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。
不定积分
一、原函数 定义1 如果对任一I x ∈，都有 )()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。 例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。 2 211)1ln([x x x +='++，即)1ln(2x x ++是 2 11x +的原函数。 原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。 注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。 设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。 注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即C x G x F =-)()(（C 为常数） 注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。 二、不定积分 定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为?dx x f )(。 如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则 C x F dx x f +=?)()(，（C 为任意常数）
x y o )(x F y = C x F y +=)( 三、不定积分的几何意义 不定积分的几何意义如图5—1所示： 图 5—1 设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x F y =在平面上表示一条曲线，称它为 )(x f 的一条积分曲线．于是)(x f 的不定积分表示一族积分曲线，它们是由) (x f 的某一条积分曲线沿着y 轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x 的点处有互相平行的切线，其斜率都等于)(x f ． 在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式C x F y +=)(，再从中确定一个满足条件 00)(y x y = (称为初始条件)的原函数)(x y y =．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点),(00y x 的积分曲线． 四、不定积分的性质（线性性质） [()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±??? ()() kf x dx k f x dx =??k （ 为非零常数）
第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二．是非判断题 1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。 （A ）?=dx x F )('f(x)+c; （B ）?dx x f )(=F(x)+c; （C ）? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。 （A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3．下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=，则f(x)=______.
第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12) 3x x e dx ?
关于高等数学不定积分例题思路和答案超全 Last revision on 21 December 2020
第4章 不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 2 2 23x dx x C - -==-+?
★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个 整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134 （-+-） 2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（-+-）2
高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:
樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分
分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__
-辿迪牆H JS m 弟 R Eff 洱 ->1和弟r 直 - —7朮呻' g 丄 U P A J 齐—系卩￡.§计 一 H a8~t ' J 乂 u D y " ?朮?
p o r t v 卩 J (r 4 5*〉J" 卩?对渎 t-k )+c p T + T d ? g T + c m -辿」
当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx
高等数学第四章不定 积分课后习题详解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)
思路: 被积函数52 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★ (9) 思路 = 11172488x x ++==，直接积分。 解 ：715888.15x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)211 x x e dx e --?