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CATIA曲线曲面设计包会

CATIA曲线曲面设计基本理论

一、概述

曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design,CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(Rational

B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)这二种手段为骨架的几何理论体系。

1．发展历程

形状信息的核心问题是计算机表示，既要适合计算机处理，且有效地满足形状表示与设计要求，又便于信息传递和数据交换的数学方法。象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必须解决的问题。曲面造型的目的就在如此。

1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线（三次Hermite 插值曲线），将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片，从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。

1964年，舍恩伯格（Schoenberg ）提出了参数样条曲线、曲面的形式。

1971年，法国雷诺（Renault ）汽车公司的贝塞尔（Bezier ）发表了一种用控制多边形定义曲线和

曲面的方法。这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推

进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。

但当构造复杂曲面时，Bezier 方法仍存在连接问题和局部修改问题。

同期，法国雪铁龙（Citroen ）汽车公司的德卡斯特里奥（de Castelijau ）也独立地研究出与Bezier 类似的方法。

1972年，德布尔（de Boor ）给出了B 样条的标准计算方法。

1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden ）和里森费尔德（Riesenfeld ）将B 样条理论用于形状描述，提出了B 样条曲线和曲面。这种方法继承了Bezier 方法的一切优点，克服了Bezier 方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。但随着生产的发展，B 样条方法显示出明显不足，不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产管理混乱。

1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse ）大学的佛斯普里尔（Versprill ）提出了有理B 样条方法。

80年代后期皮格尔（Piegl ）和蒂勒（Tiller ）将有理B 样条发展成非均匀有理B 样条方法（即NURBS ），并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。

NURBS 方法的突出优点是：可以精确地表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面，而其它非有理方法无法做到这一点；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更宜于控制和实现；NURBS 方法是非有理B 样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理B 样条曲线

曲面的性质及其相应算法也适用于NURBS 曲线曲面，便于继承和发展。

由于NURBS 方法的这些突出优点，国际标准化组织(ISO)于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP 国际标准，将NURBS 方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，从而使NURBS 方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。

2．基本概念

曲线、曲面的显式、隐式、参数表示

曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示。

显式：形如z ＝f（x，y）的表达式。对于一个平面曲线，显式表示一般形式是：y=f（x）。在此方程中，一个x值与一个y值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。

隐式：形如f（x，y，z）＝0的表达式。如一个平面曲线方程，表示成f（x，y）=0的隐式表示。隐式表示的优点是易于判断函数f（x，y）是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。

参数表示：形如x ＝f（t），y ＝f（t），z ＝f（t）的表达式，其中t为参数。即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。

如平面曲线上任一点P可表示为：P(t) = [x(t), y(t)]；

空间曲线上任一三维点P可表示为：P(t) = [x(t), y(t), z(t)]；如图：

最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为：

∈

P(t) = P1 + ( P2 - P1 )t t[0, 1];

圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为：

其参数形式可表示为：

参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点，计算机图形学中通常用参数形式描述曲线、曲面。

其优势主要表现在：

（1）可以满足几何不变性的要求，坐标变换后仍保持几何形状不变

（2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为：

只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为：

有8个系数可用来控制此曲线的形状。

（3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对其每个型值点进行几何变换，不能对其方程变换（因不满足几何变换不变性）；而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。

（4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。

（5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量。

∈，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边（6）规格化的参数变量t[0, 1]

界。

（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。

位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率

（见高等数学）

插值、逼近、拟合

插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。常用插值方法有线性插值、抛物线插值等。

逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。

拟合：插值和逼近则统称为拟合（fitting）。

光顺、连续性

光顺：通俗含义指曲线的拐点不能太多，曲线拐来拐去，就会不顺眼，对平面曲线而言，相对光顺的条件是：a）具有二阶几何连续性(G2)；b）不存在多余拐点和奇异点；c）曲率变化较小。

连续性：设计一条复杂曲线时，常常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题，即为连续性问题。

曲线间连接的光滑度的度量有两种：一种是函数的可微性，把组合参数曲线构造成在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，这类光滑度称之为C n或n阶参数连续性。另一种称为几何连续性，组合曲线在连接处满足不同于C n的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性，简记为G n。曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾，C n连续包含在G n连续之中。

对于上图所示二条曲线P(t) 和Q(t)，参数，若要求在结合处达到G0连续或C0连续，即两曲线在结合处位置连续：P(1) = Q (0) 。

若要求在结合处达到G1连续，就是说两条曲线在结合处在满足G0连续的条件下，并有公共的切矢： …………（1－1）

当时，G1连续就成为C1连续。

若要求在结合处达到G2连续，就是说两条曲线在结合处在满足G1连续的条件下，并有公共的曲

率矢： …………（1－2）

代入(1－1)得：

这个关系为：

…………(1－3)

即Q”(0)在P”(1)和P’(1)确定的平面内。为任意常数。当，时，G2连续就成为C2

连续。在弧长作参数的情况下，C1连续保证G2连续，C1连续能保证G2连续，但反过来不行。也就是说C n连续的条件比G n连续的条件要苛刻。

3．简单代数曲面

简单代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复杂曲面造型的要求。

二、Bezier 曲线的定义 1．定义

给定空间n+1个点的位置矢量Pi （i=0，1，2，…，n ），则Bezier 参数曲线上各点坐标的插值公式是：

将其写成矩阵表达形式为：

P （t ）＝ []?????

???????Pn P P t B t B t B n n n n ...)(...)()(1

0,,1,0

其中，P i 构成该Bezier 曲线的特征多边形，B i,n (t)是n 次Bernstein 基函数：

注意：约定 0 = 1, 0! = 1　

n=0, B 0,0(t) = 1

n=1, B 0,1(t)

= 1-t B 1,1(t) = t n=2, B 0,2(t) = (1-t)2 B 1,2(t) = 2t(1-t) B 2,2(t) = t 2

n=3, B 0,3(t) = (1-t)3 B 1,3(t) = 3t(1-t)2 B 2,3(t) = 3t 2（1-t ） B 3,3(t) = t 3

…… ……

如图所示是一条三次Bezier 曲线实例，即 n ＝ 3 。

图三次Bezier 曲线

对于三次Bezier 曲线，其表达式为

)()(3,3

t B P t P i i i ∑== t ∈[0,1]

式中：B 0,3(t) = (1-t)3 ，B 1,3(t) = 3t(1-t)2， B 2,3(t) = 3t 2(1-t)， B 3,3(t) = t 3

将其写为矩阵表达式则为：

P （t ）＝ [ B 0,3(t) B 1,3(t) B 2,3(t) B 3,3(t) ] [ P 0 P 1 P 2 P 3 ]T

＝ [

]

?????

?????????????

???????32102

0001

0033036313311P P P P t t t 式中若求P X （t ）的值，则取P i 的x 坐标进行计算，同理求P y （t ）

、P z （t ）的值，具体如下： P x （t ）＝ [ B 0,3(t) B 1,3(t) B 2,3(t) B 3,3(t) ] [ P 0x P 1x P 2x P 3x ]T P y （t ）＝ [

B 0,3(t) B 1,3(t) B 2,3(t) B 3,3(t) ] [ P 0y P 1y P 2y P 3y ]T P z （t ）＝ [

B 0,3(t) B 1,3(t) B 2,3(t) B 3,3(t) ] [ P 0z P 1z P 2z P 3z ]T 注意：上式基函数的计算仅需一次，不必三次。

2．Betnstein 基函数的性质

注意：是基函数的性质，并非曲线的性质。

（1）正性

（2）端点性质

（3）权性

由二项式定理可知：

（4）对称性

因为

（5）递推性。

,其计算过程表示为：

B i,n(t) B i,n-1(t) B i,n-2(t) B i,n-3(t) ………

B i-1,n-1(t) B i-1,n-2(t) B i-1,n-3(t) ………

B i-2,n-2(t) B i-2,n-3(t) ………

B i-3,n-3(t) ………

………

即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数线性组合而成。

（6）导函数

（7）最大值：在处达到最大值。

3．Bezier曲线的性质

（1）端点性质

a. 曲线端点位置矢量

由Bernstein基函数的端点性质可以推得，P(0) = P0，P(1) = P n

由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。

b. 端点切矢量，因为

即 P’(0) = n(P1-P0)，P’(1) = n(P n-P n-1)

这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。

c. 端点二阶导矢

即：，

上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。

（2）对称性。

颠倒控制点顺序，即控制顶点构造出的新Bezier曲线，则与原Bezier 曲线形状相同，仅走向相反。因为：

这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。

（3）凸包性

由于，且，这一结果说明当t在[0，1]区间变

化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是。在几何图形上，

意味着Bezier曲线P(t)在中各点是控制点P i的凸线性组合，即曲线落在P i构成的凸包之中，如图所示。

（4）几何不变性。

这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点

的位置有关，它不依赖坐标系的选择，即有：

（参变量u是t的置换）

（5）变差缩减性。

若Bezier曲线的特征多边形是一个平面图形，则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。

（6）仿射不变性

对于任意的仿射变换A：

即在仿射变换下，的形式不变。

4．Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法

计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。

如图所示，设、、是一条抛物线上顺序三个不同的点。过和点的两切线交于点，

在点的切线交和于和，则如下比例成立：

这是所谓抛物线的三切线定理，其几何意义如下图所示。

图抛物线的三切线定理

当P 0，P 2固定，引入参数t ，令上述比值为t:(1-t)，即有：

t 从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们正好是两条一次Bezier 曲线。将一、二式代入第三式得：

当t 从0变到1时，它正好表示了由三顶点P 0、P 1、P 2三点定义的一条二次Bezier 曲线。并且表明：这二次Bezier 曲线P 20可以定义为分别由前两个顶点（P 0，P 1）和后两个顶点（P 1，P 2）决定的一次Bezier 曲线的线性组合。

依次类推，由四个控制点定义的三次Bezier 曲线P 30可被定义为分别由(P 0，P 1，P 2)和(P 1，P 2，P 3)确定的二条二次Bezier 曲线的线性组合；

进一步由(n+1)个控制点P i (i=0, 1, ..., n)定义的n 次Bezier 曲线P n 0可被定义为分别由前、后n 个控制点定义的两条(n-1)次Bezier 曲线P 0n-1与P 1n-1的线性组合：

由此得到Bezier 曲线的递推计算公式：

这便是著名的de Casteljau 算法。用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier 曲线上一点P(t)非常有效。上式中：

是定义Bezier 曲线的控制点，即为曲线上具有参数t 的点。de Casteljau 算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier 曲线的基本算法和标准算法。

P 0

P P 1

n-3

function deCasteljau (i ,j ) begin

if i = 0 then

return P 0,j

else

return (1-u )* deCasteljau (i -1,j ) + u * deCasteljau (i -1,j +1)

end

这一算法可用简单的几何作图来实现。给定参数

，就把定义域分成长度为

的两段。

依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间顶点

，对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点

。重复进行下去，直到n 级递推得到一个中间顶点

即为所求曲线上的点

。

下图所示为几何作图求三次Bezier 曲线（给定参数域

）上t ＝1/3的点。把定义域分成长度为

1/3 : (1-1/3)的两段。依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间顶点10P 、11P 、1

2P ，对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点2

0P 、2

1P 。重复进行下去，直到第3级递推得到一个中间顶点3

0P 即为所求曲线上的点P （t ）。

图几何作图法求Bezier 曲线上一点（n=3，t=1/3）

上述过程的de casteljau 算法递推出的P k i 呈三角形，对应结果如图所示。递归算法是上述过程的逆过程，首先从上向下递归，直到最底层后开始返回，最顶部点P 30即为曲线上的点。

图 n=3时，P i n

的递推关系

另外，这一算法隐含说明任一Bezier 曲线均可被分割为两段Bezier 曲线。第一段由P 0、P 01

、

P 02、P 03确定，参数空间为[0,1/3];第二段P 03、P 12、P 21、P 3确定，参数空间为[1/3,1],分割后的

曲线形状保持不变。如图所示。

图Bezier曲线的分割（n=3，t=1/3）

5．Bezier曲线的拼接

几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。这是由于增加由于特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。

下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条件。给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为P i(i=0, 1, ..., n)和Q j(j=0,1,..., m)，且令，如图所示，我们现在把两条曲线连接起来。

（1）G0连续的充要条件是：P n= Q0；

（2）G1连续的充要条件是：P n-1，P n = Q，Q1三点共线，即

（3）G2连续的充要条件是：在G1连续的条件下，并满足方程。

图Bezier曲线的拼接

我们将、和，、代入，并整理，可以得到：

选择和的值，可以利用该式确定曲线段的特征多边形顶点，而顶点、已被连续条件所确定。要达到连续的话，只剩下顶点可以自由选取。

如果从上式的两边都减去，则等式右边可以表示为和的线性组合：

这表明、、、和五点共面，事实上，在接合点两条曲线段的曲率相等，主法线方向一致，我们还可以断定：和位于直线的同一侧。

6．Bezier曲线的升阶与降阶

1.Bezier曲线的升阶

所谓升阶是指保持Bezier曲线的形状与方向不变，增加定义它的控制顶点数，也即是提高该Bezier 曲线的次数。增加了控制顶点数，不仅能增加了对曲线进行形状控制的灵活性，还在构造曲面方面有着重要的应用。对于一些由曲线生成曲面的算法，要求那些曲线必须是同次的，应用升阶的方法，我们可以把低于最高次数的的曲线提升到最高次数，使得各条曲线具有相同的次数。

曲线升阶后，原控制顶点会发生变化。下面，我们来计算曲线提升一阶后的新的控制顶点。

设给定原始控制顶点P0,P1,...,P n，定义了一条n次Bezier曲线：

增加一个顶点后，仍定义同一条曲线的新控制顶点为P0*,P1*,...,P n+1*，则有：

对上式左边乘以(t+(1-t))，得到：

比较等式两边t i(1-t)n+1-i项的系数，得到：

其中P-1=P n+1=0。

此式说明：

?升阶后的新的特征多边形在原始特征多边形的凸包内。

?特征多边形更靠近曲线。

三次Bezier曲线的升阶实例如图所示。

图 Bezier 曲线的升阶

2.Bezier 曲线的降阶

降阶是升阶的逆过程。给定一条由原始控制顶点P i (i =0,1,...,n )定义的n 次Bezier 曲线，要求找到一条由新控制顶点P i *(i =0,1,...,n -1)定义的n -1次Bezier 曲线来逼近原始曲线。假定P i 是由P i *升阶得到，则由升阶公式有：

和

其中第一个递推公式在靠近P 0处趋向生成较好的逼近，而第二个递推公式在靠近P n 处趋向生成较好的逼近。

程序演示：Bezier 曲线 1．修改控制点

2．自动升阶

对上面的Bezier 曲线进行升阶，得到如下图所示曲线。

4个控制点4阶3次 5个控制点5阶4次

三、Bezier曲面

基于Bezier曲线的讨论，我们可以方便地可以给出Bezier曲面的定义和性质，Bezier曲线的一些算法也可以很容易扩展到Bezier曲面的情况。

1．定义

设为个空间点列，则次张量积形式的Bezier曲面定义为：

其中，是Bernstein基函数。依次用线段连接点

列中相邻两点所形成的空间网格，称之为特征网格。

Bezier曲面的矩阵表示式是：

[]

)

(

...

)

(

)

(

...

)

(

...

)

(

)

(

)

(

在一般实际应用中，不大于4。

以双三次Bezier曲面为例，将其写为矩阵表达式则为：

P（u,v）＝ [ B0,3(u) B1,3(u) B2,3(u) B3,3(u) ] [ P ij]4x4 [ B0,3(v) B1,3(v) B2,3(v) B3,3(v) ]T

＝[

]

??????

??????????????

????????????

??????????????

???????10001

0033036313310001

0033036313311233332

232221201312111003020100

v v v P P P P P P P P P P P P P P P P u u u

其具体计算方法为：

P x (u,v)＝[ B 0,3(u) B 1,3(u) B 2,3(u) B 3,3(u) ] [ P ijx ] 4x4 [ B 0,3(v) B 1,3(v) B 2,3(v) B 3,3(v) ]

P y (u,v)＝[ B 0,3(u) B 1,3(u) B 2,3(u) B 3,3(u) ] [ P ijy ] 4x4 [ B 0,3(v) B 1,3(v) B 2,3(v) B 3,3(v) ]

P z (u,v)＝[ B 0,3(u) B 1,3(u) B 2,3(u) B 3,3(u) ] [ P ijz ] 4x4 [ B 0,3(v) B 1,3(v) B 2,3(v) B 3,3(v) ]

注意：上式中各基函数的值只需计算一次。

线框图绘制方法：先按等参数方向均匀离散成网格点，在按一定规则绘制网格线。

2．性质

除变差减小性质外，Bezier 曲线的其它性质可推广到Bezier 曲面：

（1）Bezier 曲面特征网格的四个角点正好是Bezier 曲面的四个角点，即：

，

。

（2）Bezier 曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier 曲面的四条边界，且每条边界曲线仍为一Bezier 曲线，该边界Bezier 曲线由对应的一条边界特征网格顶点确定，即：

P （u ，0）＝ [ B 0,m (u) B 1,m (u) … B m,m (u) ] [ P 00 P 10 … P m 0 ]T P （u ，1）＝ [ B 0,m (u) B 1,m (u) … B m,m (u) ] [ P 0n P 1n … P m n ]T P （0，v ）＝ [ P 00 P 01 … P 0n ] [ B 0,n (v) B 1,n (v) … B n,n (v) ]T P （1，v ）＝ [ P m0 P m1 … P m n ] [ B 0,n (v) B 1,n (v) … B n,n (v) ]T

推广之：沿Bezier 曲面任何等参数的截线均为一Bezier 曲线（读者证明）。

（3）Bezier 曲面边界的跨界一阶切矢只与定义该边界的顶点及相邻一排顶点（共二排顶点）有关，且P 00P 10P 01、

、

和

（图上打上斜线的三角形）组成的平面与

曲面在对应的角点相切；

其跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶点（共三排顶点）有关。（4）几何不变性。（5）对称性。（6）凸包性。

下图以双三次Bezier 曲面。P （t ）＝ [ B 0,3(u) B 1,3(u) B 2,3(u) B 3,3(u) ] [ P ij ]4x4 [ B 0,3(v) B 1,3(v) B 2,3(v) B 3,3(v) ]T 为例，我们可以清楚看出它的几何特性。

图双三次Bezier 曲面及边界信息

3．Bezier 曲面片的拼接

如图所示，设两张m×n 次Bezier 曲面片

分别由控制顶点

和

定义。

图Bezier曲面片的拼接

如果要求两曲面片达到连续，则它们有公共的边界，即：

（3－1）

于是有。

如果又要求沿该公共边界达到连续，则两曲面片在该边界上有公共的切平面。因此曲面的法向

矢量应当是跨界连续的，而曲面的偏导切向矢量不必跨界连续，如下图所示，仅需P v（1，v）、Q v （0，v）共线，P u（1，v）、P v（1，v），Q u（0，v）、Q v（0，v）共面即可。

由此：

（3－2）

下面来研究满足这个方程的两种方法。

（1）鉴于（3－1）式，（3－2）式最简单的取解（但更苛刻）是：

（3－3）

这相当于要求合成曲面上v为常数的所有曲线，在跨界时有切向的连续性。为了保证等式两边关于

的多项式次数相同，必须取（一个正常数）。于是有：

即。

如图所示为两张三次Bezier曲面的拼接示意图

（2）式使得两张曲面片在边界达到连续时，只涉及面和的两列控制

）式作为连续的条件，而以）式，这仅仅要求位于和所在的同一个平面内，也就是曲面片

边界上相应点处的切平面，这样就有了大得多的余地，但跨界切矢在跨越曲面片的边界时就不

曲面的拼接条件仅需相应顶点

同样，为了保证等式两边关于v的多项式次数相同，须为任意正常数，是v的任意线性函

数。

为了实现多张曲面拼接，需要更多的自由度和更为宽松的条件才可能实现。为实现这一目标往往需要更高阶的曲面，对低阶曲面可通过升阶方法提高阶次。

四、B样条曲线与曲面

Bezier曲线具有很多优越性，但有二点不足：

Catia--曲面设计

第一章曲面设计概要 1、曲面造型的数学概念：（1）、贝塞尔（Bezier）曲线与曲面：法国雷诺的Bezier在1962年提出的，是三次曲线的形成原理。这是由四个位置矢量Q0、Q1、Q2、Q3定义的曲线。通常将Q0，Q1，…，Qn组成的多边形折线称为Bezier控制多边形，多边形的第一条折线与最后一条折线代表曲线起点和终点的切线方向，其他折线用于定义曲线的阶次与形状。（2）、B样条曲线与曲面：与Bezier曲线不同的是权函数不采用伯恩斯坦基函数，而采用B样条基函数。（3）、非均匀有利B样条（NURBS）曲线与曲面： NURBS是Non-Uniform Rational B-Splines的缩写。 Non-Uniform（非统一）指一个控制顶点的影响力的范围能够改变。当创建一个不规则曲面的时候，这一点非常有用。同样，统一的曲线和曲面在透视投影下也不是无变化的，对于交互的3D建模来说，这是一个严重的缺陷。 Rational（有理）指每个NURBS物体都可以用数学表达式来定义。 B-Spline（B样条）指用路线来构建一条曲线，在一个或更多的点之间以内差值替换。（4）NURBS曲面的特性及曲面连续性定义： NURBS曲面的特性：NURBS用数学方法来描述形体，采用解析几何图形，曲线或曲面上任何一点都有其对应的坐标（x,y,z），据有高度的精确性。曲面G1与G2连续性定义：Gn表示两个几何对象间的实际连续程度。 ●G0：两个对象相连或两个对象的位置是连续的。 ●G1：两个对象光滑连接，一阶微分连续，或者是相切连续的。 ●G2：两个对象光滑连接，二阶微分连续，或者两个对象的曲率是连续的。 ●G3：两个对象光滑连接，三阶微分连续。 ●Gn的连续性是独立于表示（参数化）的。 2、检查曲面光滑的方法： ①、对构造的曲面进行渲染处理，可通过透视、透明度和多重光源等处理手段产生高清晰度的、逼真的彩色图像，再根据处理后的图像光亮度的分布规律来判断出曲面的光滑度。图像明暗度变化比较均匀，则曲面光滑性好。 ②、对曲面进行高斯曲率分析，进而显示高斯曲率的彩色光栅图像，可直观的了解曲面的光滑性情况。 3、CATIA曲面模块简介： ?创成式曲面设计（Generic Shape Design），简称GSD。 ?自由曲面设计（Free Style Surface），简称FSS。

扫掠曲面在CATIA曲面造型中的应用

扫掠曲面在CATIA曲面造型中的应用谢龙汉https://www.doczj.com/doc/0b689337.html, 在曲面造型中，通常是首先进行线框造型得到一系列的线条，再进行曲面造型构建基本曲面，最后还需要对这些基本曲面进行裁剪、圆角过渡等处理。扫掠曲面就是一种重要的曲面类型，在曲面造型中具有相当广泛的应用。扫掠曲面是以若干线条为截面线（可以看作是纬线），以另外若干条线条为导引线（可以看作是经线），截面线沿着导引线移动，形成了一张曲面。 CATIA V5所提供的扫掠曲面（Sweep）功能，不但可以构建传统的扫掠曲面类型轮廓扫掠（具有截面线和导引线），还可以只根据导引线构建直纹面（截面线为直线）、圆弧曲面（截面线为圆弧）、圆锥曲面（截面线为圆锥曲线）。在创成式曲面设计模块中，选择菜单【Insert（插入）】【Surface（曲面）】【（扫掠曲面）】，出现如图1所示的【Swept Surface Definition（扫掠曲面定义）】对话框中。图1 在对话框的上部“Profile type（轮廓类型）”中，给出了四种轮廓类型，分别是：轮廓扫掠（Explicit Sweep），以明确的轮廓形状沿着指定的轨迹进行扫掠；

直纹面（Line Sweep），系统自动以直线作为轮廓形状，只需要指定导引线及相关的边界条件，也就是将直线沿着导引线为轨迹进行扫掠，形成直纹面；圆弧曲面（Circle Sweep），系统自动在指定的若干条导引线及边界条件上构建圆弧截面，而不需要额外指定轮廓线；圆锥曲面（Conic Sweep），这种曲面的构建与圆弧曲面有些类似，只是圆锥曲面所需要的边界条件比较多。 1.轮廓扫掠轮廓扫掠（Explicit Sweep）就是根据一条截面线（Profile），沿着指定的一条或者两条导引线（Guiding Curve）进行扫掠，从而形成一张扫掠曲面。这种扫掠曲面的形状主要取决于截面线和导引线的形状、相对位置（特别是角度）。轮廓扫掠这种曲面构建类型需要指定三个边界条件，从而也延伸出三种构建方式，这三种方式在Subtype（子类型）下拉框中可以进行选择。具有参考曲面（With reference surface）：需要选择一条截面线（Profile）、一条导引线（Guiding Curve），在Reference选项页中，可以选择一个导引线所在的曲面填入“Surface（曲面）”输入栏中，这样可以设置截面线在扫掠过程中保持与支持面成一定的角度，该角度可以在“Angle（角度）”输入栏中设置。也可以不指定参考曲面，那么将以导引线的中间平面作为参考平面，从而计算扫掠的角度。如图2所示，是以一条圆弧曲线作为截面线，以另一条曲线作为导引线，没有指定参考曲面，扫掠生成的曲面。如图3所示，是在图2所选择曲线的基础上，再指定导引线所在的曲面作为参考曲面，并且设置旋转的角度为30度，扫掠生成的曲面。设定一个角度之后，还可以选择所生成的曲面与参考曲面之间的相对位置，实际上就是有30度、120度、210度、300度四种情况所对应的4个象限角（Angle Sector）。图2 图3 角度的控制是一个很有用的方法。在对话框中单击（规则定义）按钮，在【Law Definition（规则定义）】对话中设置一条规律曲线，如图4所示，是设置了一条线性关

CATIA曲面造型命令

C A T I A曲面造型命令 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

几何操作（Operations）几何操作功能是几何造型功能的重要补充与拓广，其功能强弱会直接影响曲面造型功能的使用效果。CATIA V5为用户提供了大量的曲线曲面的修改、编辑功能（如下所示），极大地提高了曲面造型效率。 Join合并几何元素（线、面） Healing 缝补曲面 Curve smooth 曲线光顺 Untrim 恢复被剪切曲面 Disassemble 分解几何元素 Split 切割曲面或线框元素 Trim 修剪曲面或线框元素

Boundary 提取曲面边界线 Extract 提取几何体 Multiple edge extract从草图中提取部分几何体 Shape Fillet 两曲面倒圆 Edge Fillet曲面棱线倒圆 Variable Fillet 变半径倒圆 Face-Face Fillet 面－面倒圆 Tritangent Fillet三面相切倒圆

Translate平移几何体 Rotate转动几何体 Symmetry对称几何体 Scaling缩放几何体 Affinity仿射变形 Axis to Axis将几何体移动到另一坐标系中 Extrapolate延长曲线/曲面 Invert Orientation曲线/曲面反向 Near从组合体中提取与参考对象最近部分的元素合并几何体（Join）详解该功能用于合并曲线或曲面（对话框见图所示），其操作步骤为： 1) 点击接合（Join）工具条或菜单Insert->Operations->Join。 2) 选择要合并的曲线或曲面。该命令提供了三种选择几何体的模式： ●标准模式（不按任何按钮）：如果所选几何体已存在于列表中，就将其从列表中删除；如果所选几何体还没在列表中出现，就将其添加到列表中。 ●添加模式（按下Add Mode按钮）：如果所选几何体还没在列表中出现，就将其添加到列表中；否则也不将其从列表中删除。 ●删除模式（按下Remove Modc按钮）：如果所选几何体已在列表中出现，就将其从列表中删除，否则不起作用。也可以从列表中选择要编辑的几何体对象，点击右键，选择快捷菜单中的 Remove/Replace子菜单。 3)按预览(Apply)按钮，预览合并结果，并显示合并面的定位。左键点击定位箭头，会使定位方向反向。

CATIA中曲面外形分析

曲面外形分析 CATIA 提供了丰富的曲面外形分析功能对曲面进行分析，包括反射线，高亮分析、面上曲率分析、斑马线分析等功能。本文将对上述各项分析功能进行介绍。 1 反射线反射线（Reflection Line），通过建立一组平行的直线，用这组直线模拟霓虹灯，将光线照射到曲面上，形成一系列的反射线，由此分析曲面的形状。首先需要选择要进行分析的曲面。接着在【Shape Analysis（外形分析）】工具栏中选择【反射线】功能，弹出【Reflection Lines】对话框。在对话框中，Neons栏目可以设置反射线的密度及数量。在输入栏中设定反射线的数量，在输入栏中设定反射线的间距。单击对话框中的按钮，可以将指南针移动到曲面上方。如图1所示。图1 在Eye栏目中列出了反射线的入射角度。屏幕视角，以屏幕垂直的方向将光线投射到曲面上，旋转曲面，可以观察到反射线的变化，如图2所示是两个不同视角的反射线。

图2 指南针方向，以指南针的方向作为入射光线的方向，调整指南针的方向，可以改变反射线，如图3所示。图3 在反射直线上单击右键，弹出如图4所示的菜单，选择Keep this reflection line 可以将当前所选择的直线在曲面上的所有反射线保留成为曲线，如图5所示。选择Keep all reflection lines可以将所有反射线保留。

图4 图5 2 拐点曲线拐点曲线（Inflection line），可以江曲面上曲率为0的点连接成曲线。拐点曲线两侧的曲率方向相反。在【Shape modification（外形修改）】工具栏中选择拐点曲线功能，弹出如图6所示的对话框。首先需要选择要进行分析的曲面，曲面显示的拐点曲线，如图6所示。

最经典CATIA曲线曲面设计基本理论

CATIA曲线曲面设计基本理论一、概述曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design,CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)这二种手段为骨架的几何理论体系。 1．发展历程形状信息的核心问题是计算机表示，既要适合计算机处理，且有效地满足形状表示与设计要求，又便于信息传递和数据交换的数学方法。象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必须解决的问题。曲面造型的目的就在如此。 1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线（三次Hermite 插值曲线），将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片，从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。

仅用端点的位置和切矢控制曲线形状是不够的，中间的形状不易控制，且切矢控制形状不直接。 1964年，美国麻省理工学院（MIT ）的孔斯（Coons ）用四条边界曲线围成的封闭曲线来定义一张曲面，Ferguson 曲线曲面只是Coons 曲线曲面的特例。而孔斯曲面的特点是插值，即构造出来的曲面满足给定的边界条件，例如经过给定边界，具有给定跨界导矢等等。但这种方法存在形状控制与连接问题。 1964年，舍恩伯格（Schoenberg ）提出了参数样条曲线、曲面的形式。 1971年，法国雷诺（Renault ）汽车公司的贝塞尔（Bezier ）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。但当构造复杂曲面时，Bezier 方法仍存在连接问题和局部修改问题。同期，法国雪铁龙（Citroen ）汽车公司的德卡斯特里奥（de Castelijau ）也独立地研究出与Bezier 类似的方法。 1972年，德布尔（de Boor ）给出了B 样条的标准计算方法。 1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden ）和里森费尔德（Riesenfeld ）将B 样条理论用于形状描述，提出了B 样条曲线和曲面。这种方法继承了Bezier 方法的一切优点，克服了Bezier 方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。但随着生产的发展，B 样条方法显示出明显不足，不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产管理混乱。 1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse ）大学的佛斯普里尔（Versprill ）提出了有理B 样条方法。 80年代后期皮格尔（Piegl ）和蒂勒（Tiller ）将有理B 样条发展成非均匀有理B 样条方法（即NURBS ），并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。 NURBS 方法的突出优点是：可以精确地表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面，而其它非有理方法无法做到这一点；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更宜于控制和实现；NURBS 方法是非有理B 样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理B 样条曲线曲面的性质及其相应算法也适用于NURBS 曲线曲面，便于继承和发展。由于NURBS 方法的这些突出优点，国际标准化组织(ISO)于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP 国际标准，将NURBS 方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，从而使NURBS 方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。

CATIAa级曲面光顺原则介绍

1．所有特征都必须具有可扩展性和可编辑性。2．所有特征都必须分解成单凸或单凹特征。3．所有特征面的光顺保证2阶导数以上连续。4．所有特征线<面）函数必须小于6阶。5．所有特征间的连接要2阶导数以上连续<曲率连续）6．所有特征间的连接偏差小于0.0001。7．一块大面上多特征拼接的，建模默认误差小于0.0001，角度误差小于0.01度。8．单一特征面的建模默认误差小于0.00001，角度误差小于0.001度9．造型决定的不同特征形状可不要求曲率连续或相切连续。10．在不能保证大特征面如上质量情况下，宁可牺牲边界线或缝线或特征连接，特征的连续保证相切连续<角度误差小于0.1度）。11．不明显的局部特征过渡区<如A柱下端与翼子板过渡区），允许曲率不连续，但要保证相切连续。12．外观特征筋线倒角R2~R5 仪表板边界相交倒角R5~R10 13．顶盖、发动机盖、行李箱盖，与侧围做大面相交，然后以交线为中心，依据点云特征，进行曲率或相切连续。14．大于R10的倒角，要考虑搭桥，保证曲率连续。15．为获得A级曲面、允许与点云误差±5mm。16．零件边界线必须光顺。17．一块大面如果在两头曲率变化太大<相差2倍以上）必须分开特征，然后与主曲面拼接，拼接精度偏差小于0.0001，角度偏差小于0.01度）。18．不可以用多个特征断面，用扫面

小面拼接零件。 A级面介绍：我们对A级曲面是这样理解的1.轮廓曲面--通常都是A级曲面，这样的曲面通常都要求曲率连续，沿着曲面和相邻的曲面有几乎相同的曲率半径<相差0.05或更小，位置偏差0.001mm或角度相差0.016度。）2、A级曲面用高光等高线检测时显亮的曲线--这些曲线应该有一个共同的曲率特征，等高线连续且过度均匀、逐渐的发散或收缩，而不是一下子汇集消失到一点3、A级曲面上的控制点也应该按一定的规律分布，一行控制点与另一行相邻的控制点的角度变化应该有一定的规律可循，这是画高质量的曲线所必需的4、A级曲面模型的曲面的边界线又该可以被编辑、移动以生成另外一个曲线，同时这个新生成的曲线可以重新加入曲面来控制区面。6、贝塞尔曲面的阶次和控制点数目一般应该是六，有时候可能会更高7、是说关于拔模角度、对称性、间歇以及同相关曲面德关系等都要考虑。这个要求我们在造型是对相关的项目问题也要予以足够的重视。8、这是专门就曲率的变化来说的，光是曲率连续是不足以做出classa的曲面的。还要求曲率的变化本身也是光顺的，实际上就是引出了G3的概念。当然并不是说class a要求G3，但是比较接近G3的品质对曲面的品质肯定是有好处的关于A-classsurfaces，涉及曲面的类型的二个基本观点是位置和质量。位置——所有消费者可见的表面按A-Surface考虑。汽车的console<副仪表台）属于A-surf，内部结构件则是B-surf。质量—

CATIA中A级曲面应用全面介绍精华篇

A级曲面没有十分严格的数学描述也没有十分严格的概念定义。在汽车行业，所谓A级曲面的定义，是必须满足相邻曲面间的间隙在 0.005mm 以下（有些汽车厂甚至要求到 0.001mm），切率改变 ( Tangency Change ) 在0.16度以下，曲率改变 (Curvature Change) 在0.005 度以下，符合这样的标准才能确保钣件的环境反射不会有问题。CLASS-A包括多方面评测标准，比如说反射是不是好看、顺眼等等。当然，G2可以说是一个基本要求，因为G2以上才有光顺的反射效果。但是，即使G3了，也未必是A级曲面，也就是说有时虽然连续，但是面之间出现褶皱，此时就不是A级曲面了。通俗一点说，CLASS-A就必须是G2以上连接。汽车业界对于A级曲面要求也有不同的标准，GM要求比TOYOTA ，BMW等要低一些，也就是说Gap和Angle要求要松一些。关于A级曲面，涉及曲面类型的二个基本观点是位置和质量。位置，所有消费者可见的表面按A-Surf考虑，汽车的Console（副仪表台）属于A-Surf，内部结构件则是B-surf；质量，涉及曲面拓扑关系、位置、切线、曲面边界处的曲率和曲面内部的Patch结构。在老的汽车业有这样一种分类法：A面，车身外表面，白车身；B面，不重要表面，比如内饰表面；C面，不可见表面。这其实就是A级曲面的基础。但是现在随着美学和舒适性的要求曰益提高，对汽车内饰件也提到了A-CLASS的要求。因而分类随之简化，A面，可见（甚至是可触摸）表面；B面，不可见表面。关于曲面质量的连续理论，有一些意见认为“点连续”是C类，切线连续是B类，曲率连续是A类。而我想更加适当地定义为C0、C1和C2，对应于B样条曲线方程和它的1阶导数（相切=C1）和它2阶导数（曲率=C2）。因此一个A-surf有可能是曲率不连续的，如果那是设计的意图，甚至有可能切线不连续，例如设计意图是一处折痕或锐边。但是通常注塑或冲压不能有锐边，因此A-surf一定至少是切线连续(C1)的。第二种思想以汽车公司和白车身制造方面的经验为基础，做出对A-surf曲率更深刻的理解。他们按独立分类做出了同样的定义。物理定义：A-surf是那些在各自的边界上保持曲率连续的曲面。曲率连续意味着在任何曲面上的任一"点"中沿着边界有同样的曲率半径。曲面是挺难做到这一点的，切向连续仅是方向的连续而没有半径连续。比如说倒角，点连续仅仅保证没有缝隙，完全接触。事实上，切连续的点连续能满足大部分基础工业（航空和航天、造船业、BIW 等）。基于这些应用，通常并无曲率连续的需要。当然 A-surf首先用于汽车，但现今工业设计中A-surf在消费类产品中的应用也越来越普及（牙刷，Palm，手机，洗衣机、卫生设备等）。因为它是美学所需要的。在A-surf设计中一般有5种曲率连续性，这5种连续性的名称分别叫做：G0-位置连续，G1-切线连续，G2-曲率连续，G3-曲率变化率连续，G4-曲率变化率的变化率连续。曲面连续性可以理解为相互连接的曲面之间过渡的光滑程度。提高连续性级别可以使表面看起来更加光滑、流畅。 G0-位置连续两组线都是位置连续，它们只是端点重合，而连接处的切线方向和曲率均不一致。这种连续性的表面看起来会有一个很尖锐的接缝，属于连续性中级别最低的一种。

CATIAV5-6R2013中文版曲面设计教程第七章曲线曲面分析

第7章曲线曲面分析本章导读：完成曲面模型之后，进行曲线曲面的分析，便于查找设计中的矛盾和不符合要求的地方。曲线曲面分析包括曲线连续性和曲率分析、距离、截面曲率、反射、曲率、拐点曲线、高亮、环境和斑马线分析这些命令，本章主要对这些内容进行介绍。

196 7.1 曲线分析曲线分析包括曲线连续性分析和曲线曲率梳分析，在曲线分析当中要经常用到这两种方法。 7.1.1 曲线连续性分析单击【形状分析】工具栏上的【连接检查器分析】按钮，系统弹出如图7-1所示的【连接检查器】对话框。单击【元素】选项组中的【源】和【目标】文本框，从绘图区中选择分析元素。从【类型】选项组中选择分析类型，分别是【曲线-曲线连接】、【曲面-曲面连接】、【曲面-曲线连接】、【边界】、【投影】。在【快速】选项卡中设置简单分析条件，分别是G0、G1、G2、G3、【交叠缺陷】，在其后的微调框中输入分析的最小数值。图7-1 【连接检查器】对话框单击【显示】选项组中的【有限色标】按钮，系统弹出如图7-2所示的【连接检查器分析】对话框。单击【完整色标】按钮，系统弹出如图7-3所示的【连接检查器分析】对话框。按下【梳】开关按钮，图形中显示分析结果，如图7-4所示。按下【包络】开关按钮，图形中显示分析结果，如图7-5所示。在【连接】选项组中【最小间隔】和【最大间隔】微调框中输入分析的范围。在【信息】选项组中设置显示内容，分别是【最大值】、【最小值】、【G1模式下的相切】、【G2模式下的凹面】。在【离散化】选项组中设置显示离散程度，分别是【轻度离散化】、【粗糙离散化】、【中度离散化】、【精细离散化】。在【最大偏差】选项组中显示G0、G1、G2、G3模式下的最大偏差值。

catia曲线和曲面

A.附录：曲线和曲面基础曲线贝塞尔圆弧：定义贝塞尔圆弧是CATIA V4曲线和曲面的基本数据结构。一段贝塞尔圆弧是由几个控制点来定义的。由贝塞尔圆弧定义的曲线也是由与自身形状类似的控制多边形来具体定义的。因此，通过操作控制多边形内的控制点，我们可以很容易的修改曲线。图1 贝塞尔圆弧贝塞尔曲线满足下列特征属性： z贝塞尔曲线的阶次必须与控制点的编号n相同（编号方法：0、1、…、n）； z贝塞尔曲线的端点与控制多边形的端点重合； z控制多边形末端线段表示贝塞尔曲线端点出切矢量方向； z贝塞尔曲线端点处的曲率只与相邻的第二和第三控制点相关； z其它控制点的曲率与贝塞尔曲线的挠度相关； z贝塞尔曲线完全包含在控制多边形所构成的区域（凸包）之中。 Nurbs曲线：定义 Nurbs曲线是CATIA V5曲线的基本数据结构。Nurbs曲线是贝塞尔曲线的扩展，因而使用Nurbs曲线数据结构准确地表达CATIA V4贝塞尔曲线是可能的。Nurbs曲线能够方便的表达由多段圆弧连接而成的复合曲线。 Nurbs曲线满足下列特征属性： z Nurbs曲线在每个相应的控制点增加一个参数w，称为权因子； z Nurbs曲线由控制点和节点矢量来表达的； z Nurbs曲线节点个数等于控制点个数与阶次之和； z Nurbs曲线控制点个数大于或等于阶次； z如果所有的控制点都有正的权因子，那么Nurbs曲线完全包含在控制多边形所构成的区域（凸包）之中； z除去节点处，Nurbs曲线连续性的等级等于Nurbs曲线阶次减去2，例如：阶次为4

加； z当自由曲面中某一方向（也就是u或v方向）的阶次增加1时，在这一方向上的每一个面片都增加一个控制点； C连续； z CATIA V5中，在几个面片之间连接的Nurbs曲线可以达到2 z控制点功能只能控制Nupbs曲面； z CATIA V5中，Nurbs曲面只用来构造圆锥曲面； z几何信息（Geometric Information）命令常常显示转换的CATIA V4曲面为Nurbs曲面，或者是二次曲面（圆柱面、球面等）。图2 Nupbs曲面示例转换贝塞尔转换为Nurbs（CATIA V4数据结构转换为CATIA V5数据结构）z贝塞尔控制点转换为Nurbs控制点； z每个控制点的权因子w设为1； z Nurbs曲线的阶次设为贝塞尔控制点的数目； z如果贝塞尔阶次等于n，则转换后节点矢量等于[n0；n1]（例如：阶次等于3时，节点矢量等于[0 0 0 1 1 1]）。 Nurbs转换为贝塞尔（CATIA V5数据结构转换为CATIA V4数据结构）Nurbs曲线的每一段圆弧都受到控制点集的某些子集影响。转换时必须对每段圆弧进行转换，在每段圆弧的末端增加节点，产生一批新的控制点直到每段圆弧末端的节点数等于曲线的阶次为止。最终的结果是每段圆弧都用贝塞尔曲线表达，而这条由多段圆弧构成的复合曲线看起来就像最初的Nurbs曲线。 B.附录：CATIA V4和CATIA V5曲面的阶次 CATIA V4和CATIA V5曲面阶次的属性 CATIA V4曲面的阶次（u、v）由每个方向上的控制点数决定，因为CATIA V4曲面的数据结构是贝塞尔曲面，换句话说就是，阶次等于控制点数。另一方面，CATIA V5曲面是基于

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