第一章引言
众所周知，21世纪是知识经济的时代，所谓知识经济是以现代科学技术为核心，建立在知识和信息的生产、存储、使用和消费之上的经济；是以智力资源为第一生产力要素的经济；是以高科技产业为支柱产业的经济。知识创新和技术创新是知识经济的基本要求和内在动力，培养高素质、复合型的创新人才是时代发展的需要。创新人才主要是指具有较强的创新精神、创新意识和创新能力，并能够将创新能力转化为创造性成果的高素质人才。培养创新人才，大学教育是关键，而大学的数学教育在整个大学教育，乃至在人才的培养中都起着重要的奠基作用。正如著名的数学家王梓坤院士所说：“今天的数学兼有科学和技术两种品质，数学科学是授人以能力的技术。”数学作为一门技术，现已经成为一门能够普遍实施的技术，也是未来所需要的高素质创新人才必须要具有的一门技术。随着知识经济发展的需要，创新人才的供需矛盾日趋突现，这也是全社会急呼教学改革的根本所在。因此，现代大学数学教育的思想核心就是在保证打捞学生基础的同时，力求培养学生的创新意识与创新能力、应用意识与应用能力。也就是大学数学教育应是基于传授知识、培养能力、提高素质于一体的教育理念之下的教学体系。数学建模活动是实现这一改革目标的有效途径，也正是数学建模活动为大学的数学教学改革打开了一个突破口，近几年的实践证明，这一改革方向是正确的，成效是显著的。
1.1 数学建模的作用和地位
我们培养人才的目的主要是为了服务于社会、应用于社会，促进社会的进步和发展。而社会实际中的问题是复杂多变的，量与量之间的关系并不明显，并不是套用某个数学公式或只用某个学科、某个领域的知识就可以圆满解决的，这就要求我们培养的人才应有较高的数学素质。即能够从众多的事物和现象中找出共同的、本质的东西，善于抓住问题的主要矛盾，从大量的数据和定量分析中寻找并发现规律，用数学的理论和数学的思维方法以及相关的知识去解决，从而为社会服务。基于此，我们认为定量分析和数学建模等数学素质是知识经济时代人才素质的一个重要方面，是培养创新能力的一个重要方法和途径。因此，开展数学建模活动将会在人才培养的过程中有着重要的地位和起着重要的作用。
1.1.1 数学建模的创新作用
数学科学在实际中的重要地位和作用已普遍地被人们所认识，它的生命力正在不断地增强，这主要是来源于它的应用地位。各行各业和各科学领域都在运用数学，或是建立在数学基础之上的，正像人们所说的“数学无处不在”已成为不可争辩的事实。特别是在生产实践中运用数学的过程就是一个创造性的过程，成功运用的核心就是创新。我们这里所说的创新是指科技创新，所谓的科技创新主要是指在科学拘束领域的新发明、新创造。即发明新事物、新思想、新知识和新规律；创造新理论、新方法和新成果；开拓新的应用领域、解决新的问题。大学是人才培养的基地，而创新人才的培养核心是创新思想、创新意识和创新能力的培养。传统的教学内容和教学方法显然不足以胜任这一重担，数学建模本身就是一个创造性的思维过程，从数学建模的教学内容、教学方法，以及数学建模竞赛活动的培训等都是围绕着一个培养创新人才的核心这个主题内容进行的，其内容取材于实际、方法结合于实际、结果应用于实际。总之，知识创新、方法创新、结果创新、应用创新无不在数学建模的过程中得到体现，这也正是数学建模的创新作用所在。
1.1.2 数学建模的综合作用
对于我们每一个教数学基础科的教师来说，在上第一堂课的时候，按惯例都会讲一下课
堂的重要性，一方面要强调课程的基础性作用；另一方面，免不了都要说它在实际中有多么重要的应用价值等等。对大多数学生来说，可能对这门课程在实际中的应用更感兴趣，但是，往往等到课程上完以后，经常是让这些学生大失所望，主要是因为他们没有看到课程在实际中的作用，仅仅是做了几道简单的应用题而已。学生免不了就会质问教师：“你既然说本课程在实际中有重要的应用，那么为什麽不教我们如何应用本课程的知识来解决实际问题呢？”这个问题对一般的基础课教师可能是难以明确回答的，原因是单学科的知识能够解决的实际问题是很少的，尤其是对于某些基础数学课程而言更是如此。而学习了数学建模以后，这个问题就不存在了，因为数学建模就是综合运用所学的知识和方法，创造性地分析解决来自于实际中的问题，而且不受任何学科和领域的限制，所以建立的数学模型可以直接应用于实际中去，这是数学建模的综合作用之一。
另一方面，数学建模的工作是综合性的，所需要的知识和方式综合性的，所研究的问题是综合性的，所需要的能力当然也是综合性的。数学建模的教学就是向学生传授综合的数学知识和方法，培养综合运用所掌握的知识和方法来分析问题、解决问题的能力。综合数学建模的培训和参加建模竞赛等活动，来培养学生丰富灵活的想象能力、抽象思维的简化能力、一眼看穿的洞察能力、与时俱进的开拓能力、学以致用的应用能力、会抓重点的判断能力、高度灵活的综合能力、使用计算机的动手能力、信息资料的查阅能力、科技论文的写作能力、团结协作的攻关能力等等。数学建模就是将这些能力有机地结合在一起，形成了一种超强的综合能力，我们可称之为“数学建模能力”。这就是21世纪所需要的高素质人才应该具备的能力，我们可以断言，谁具备了这种能力，必将会大有作为。
1.1.3 数学建模的桥梁地位
传统的教学内容和方法的一个最主要的问题就是理论联系实际不够密切，甚至相脱节，以至于在社会上出现了学数学没有用的一种观点，并且产生了一定社会效应。一段时间内，一些学校的数学课是被压缩，一般院校的数学系的生源质量在下降，甚至短缺，使得一些数学系的生存能力发生危机。从而，导致了一些院校的数学系不得不改变自己的培养方向和专业设置，有的合并、有的改名，一时间如雨后春笋般地诞生了许多“信息科学与计算”、“信息与计算”、“计算机与数学”等等时髦专业。或许这也是时代发展、与时俱进的结果吧！我们认为，关键的问题还是数学有用与数学无用的对立矛盾。在中国改革开放以后，国民经济飞速发展，如果数学不能为此做出贡献，那么，被人误认为数学无用应属自然。为此，数学教学改革的呼声强烈，也是在必行。现在教学改革的春风吹遍大地，数学教学改革的硕果垒垒，但成功之作无不与数学建模有关，也正是数学建模为中国数学的发展带来了生机和希望，通过“数学建模”这座无形的桥梁使得数学在工程上、生活中都得到实际的应用，这是数学建模的桥梁之一。
另一方面，现有的科技人才可以分为工程应用与理论研究两大类，从某种意义上来讲，工程与理论存在着客观的对立。特别是工程与数学、工程师与数学家之间在处理问题的方式方法上都客观地存在一些不同火堆里的观点，于是两者之间在具体问题上缺乏共同的沟通语言。对于数学建模和数学建模的人才可以在工程与数学、工程师与数学家之间架起一座桥梁，能在两者之间建立起共同语言，是沟通无限。因为数学建模的人才具有一种特有的能力——“双向翻译能力”，即可以将实际问题简化抽象为数学问题——建立数学模型；利用计算机等工具求解数学模型，再将求解结果返回到实际中去，并用来分析解释实际问题。这就使得工程与数学有机地结合在一起，工程师与数学家之间可以无障碍地沟通与合作，这也是使得近些年来能起这种桥梁作用的数学建模和数学建模人才备受欢迎的重要原因。
钱学森说：“信息时代高科技的竞争本质上是数学技术的竞争。”换言之，高技术的发展的关键是数学技术的发展，而数学技术与高技术结合的关键就是数学模型。数学模型就像一把金钥匙打开了高技术得到道难关，任何一项技术的发展都离不开数学模型，甚至技术水
平的高低取决于数学建模的优劣。
1.2 什么是数学模型？
1.2.1 原型与模型
原型与模型是一对对偶体，原型是指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。而模型是指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。模型不是原型，既简单于原型，又高于原型。例如，大家熟知的飞机模型，虽然在外观上比飞机圆形简单，而且也不一定会飞，但是它很逼真，也足以让人们想象飞机在飞行的过程中机翼的位置与形状的影响和作用。一个城市的交通图是该城市（原型）的模型，看模型比看原型清楚得多，此时城市的人口、道路、车辆、建筑物的形状等都不重要。但是，城市的街道、交通线路和各单位的位置等信息都一目了然，这比看原型清楚得多。模型可以分为形象模型和抽象模型，抽象模型最主要的就是数学模型。
1.2.2 数学模型
当一个数学结构作为某种形式语言（即包括常用符号、函数符号、谓词符号等符号集合）解释时，这个数学结构就称为数学模型。换言之，数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。也就是说，数学模型是通过抽象、简化过程，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。
数学模型并不是新的事物，自从有了数学，也就有了数学模型。即要用数学去解决实际问题，就一定要使用数学的语言、方法去近似地刻画这个实际问题，这就是数学模型。事实上，人所共知的欧几里德几何、微积分、柯西积分公式、万有引力定律、能量转换定律、广义相对论等都是非常好的数学模型。我们设想，如果现在没有这些数学模型，那么，世界将是什么样子。
实际中。能够直接使用数学方法解决的实际问题是不多的，然而，应用数学知识解决实际问题的第一步就是通过实际问题本身，从形式上杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学关系，也就是构建这个实际问题的数学模型，其过程就是数学建模的过程。
1.2.3 数学模型与数学
数学模型与数学是不完全相同的，主要体现在三个方面：
（1）研究内容：数学主要是研究对象的共性和一般规律，而数学模型主要是研究对象的个性（针对性）和特殊规律。
（2）研究方法：数学的主要研究方法是演绎推理，即按照一般原理考察特定的现象，导出结论。而数学模型的主要研究方法是归纳演绎，归纳是依据个别现象推断一般规律。归纳是演绎的基础，演绎是归纳的指导。即数学模型是将现实对象的信息加以翻译、归纳的结果，经过求解、演绎，得到数学上的解答，在经过翻译回到现实对象，给出分析、预报、决策、控制的结果。
（3）研究结果：数学的研究结果被证明了就一定是正确的，而数学模型的研究结果被证明了未必一定正确，这是因为与模型的简化和模型的假设有关，因此，对数学模型的研究结果必须接受实际的检验。
然而，鉴于数学模型与数学的关系和区别，我们评价一下数学模型好坏的标准主要是：模型是否有一定的实际背景、假设是否合理、推理是否正确、方法是否简单、论述是否深刻等等。
1.3 数学建模无处不在
目前，数学的应用已渗透到了各个领域，或者说各行各业日益依赖于数学，在人们的日
常生活的各种活动中，数学无处不在。也就是说在数学发展的进程中，无时无刻无不留下数学模型的烙印，在数学应用的各个领域无处没有数学模型的身影。基于数学模型的广泛应用，我们现在可以说：“数学模型无处不在了，”人人都会接触到它。例如：生活中的合理投资问题、养老保险问题、住房公积金问题、新技术的传播问题、流言蜚语的传播问题、传染病的流行问题、语言学中用词变化问题、人口的增长问题、减肥与增肥问题以及各种资源的管理问题等等，下面给出几个简单的例子。
1.3.1 流言蜚语（或小道消息）传播问题
假设某地区的总人口为N ，在短期内不变，)(t x 表示知道消息的人数所占的百分比，初始时刻的百分比10 ?????=-= ,)0(),1(0x x x hN N dt dx 求解易知1)1()(0+-=-ht e x t x ，且1)(lim =+∞ →t x t ，显然是不符合实际情况的，实际情况是未知者会从传播中得知，传播率为h ，而有一部分人虽知消息，但不轻信，不去传播，于是可设不传播率为r ，则数学模型为 []()?????=+-= ,0,)(0x x x r h h N N dt dx 求解得 ,)()(0r h h e r h h x t x t r h ++?? ? ??+-=+- 于是有 1)(lim <+=+∞→r h h t x t ， 此结果表明随时间的增长,消息慢慢地会淡化，逐步被人遗忘，是符合实际情况的。 1.3.2 借贷买房(或购物)问题 曾有一家报纸刊登一则广告称：“对于大多数工薪阶层的人士来说，想买房，简直是天方夜谭。现在有这样一栋住宅楼，每套只需自备款七万元，其余有公司贷款，可分期付款，每月只需付800元，十年还清.那么，这对您还有什么问题呢！” 现在问题是：这房子究竟值多少钱，即如果一次付款要付多少钱？如果没有能力一次付款，实际上，相当于借了多少钱？为什么要每月付800元？ 试根据广告所提供的信息和银行的贷款利率，对上述问题进行研究,供购房者参考。 1. 一般问题 假设房子的总价为M 元，买者需借0A 元，月利率为R ，借期为N 个月，每月付x 元，到第n 个月欠款n A 元，则第1+n 个月(含利息)欠款 x A R A n n -+=+)1(1， ,2,1,0=n 根据上述递推公式可得： x A R A n n -+=-1)1(， x A R A n n -+=--21)1(， x A R A n n -+=--32)1(， , x A R A -+=12)1(， x A R A -+=01)1(， 于是可得 x A R A n n -+=-1)1( x R A R x x A R R n n ]1)1[()1(])1)[(1(222++-+=--++=-- x R x A R R n ])1[(])1[()1(32++--++=- x R R A R n ]1)1()1[()1(23++++-+= , x R R R A R n n n ]1)1()1()1[()1(210+++++++-+=-- R R x R A n n 1)1()1(0-+-+=， ,2,1,0=n (1.1) 即得n A ，0A ，x ，R ，N 之间的关系。 2.就广告而言 已知10=N 年=120个月,800=x 元, )70000(0-=M A 元，则要求10年还清（在120个月后还清），即 0120=A ,从而 ]1)1[(800)1(01201200-+-+=R R R A ， 于是 1201200)1(]1)1[(800R R R A +-+= (1.2) 不妨设月利率01.0=R ，则有(1.2)式可算出557600≈A 元，于是房子总价为 1257605576070000=+≈M 元。 由此可知，一次性付款额不应大于M ，否则，就应该自己去银行贷款，不要借公司的钱了。 3.推广问题(一) 某高校青年教师张某为买房向公司借贷600000=A 元，月利率01.0=R ，若要每月还一次钱,需25年 =300个月还清，张老师希望知道平均每月还多少钱？ 根据前面的讨论,要25年 =300个月还清贷款，即要 01)1()1(3001200300=-+-+=R R x R A A 可以求解得632≈x 元,即平均每月还632元，25年可还清。 4. 推广问题(二) 如果张老师每半月还一次钱，每月还3162632==x 元,半月利率为005.02 01.0==R ，则能让张老师提前三年(即22年)还清，不过公司要求一次先付三个月的款：632×3=1 896元作为手续费，问这种方案对谁有利？ 实际上,表面上看这种方案，张老师在每个月不多还钱的条件下提前三年还清，对张老师十分有利，而公司没有多赚钱。但稍作分析可知，由于张老师先预付了1 896元，则事实上相当于张老师只借了581041896600000=-=A 元，而005.0=R ，316=x 代入(1.1)式,并令0=n A ，则有 ,) 1ln(ln 0R R A x x n +???? ??-= 可解得505=n (半月)≈21.04年，即提前3.96年就还清了借贷，即该公司至少从中多赚了632×11.52=7 280.64元。 思考题：对固定的月利率R,如果张老师某一时候想一次付清借贷需还多少钱？ 1.3.3 儿童保险问题 0至17岁的儿童都可以参加这种保险，投保金额可以趸交，也可以按年交，每份保险金额为1 000元，保险公司要求各年龄的儿童需交投保金额如表1—1。 表1—1 投保年龄 0 1 2 3 4 5 6 7 8 年 交 599 652 714 787 872 973 1 094 1 242 1 423 趸 交 5 978 6 29 7 6 649 7 033 7 449 7 896 8 377 8 892 9 445 投保年龄 9 10 11 12 13 14 15 16 17 年 交 1 605 1 888 2 266 2 795 3 58 4 4 886 趸 交 10036 10669 11346 12070 12843 13669 14551 15492 16496 保险公司应对保险人的保险相目和金额为 (1) 教育保险金:被保险人到18 19 20 21周岁时每年可领取一份保险金1 000元。 (2) 创业保险金:被保险人到22周岁时可以领取保险金额的4.7倍的创业保险金。 (3) 结婚保险金:被保险人到25周岁时可以领取保险金额的5.7倍的结婚保险金。 (4) 养老保险金:被保险人到60周岁时可以领取保险金额的60倍的养老保险金。 现在的问题是：如果被保险人能活到60岁时，则 （1）如果按存款年利率4.5%计算，投保是否合算？ （2）如果按贷款年利率8%计算，保险公司从中获利多少？ 首先假设投保人都能活到60岁；投保人的交款和保险公司的返回保险金均在年初进行；银行现行的存、贷款利率不变；这里均按一份投保金额（1 000元）计算。 记投保年龄为k （17,,2,1,0 =k ）；按年交款额为k a ，总交款额为k k a k A )18(-= （17,,2,1,0 =k ）；趸交款额为k B （17,,2,1,0 =k ）；银行长期存、贷款利率分别为%5.41=R ,%82=R 。 1.问题（一） 如果投保人按年交，一直交到17周岁，各年龄的投保人共需交款额为 k k a k A )18(-= （17,,2,1,0 =k ） (1.3) 到60周岁时共得保险金额74 400元。 设想投保人将所投保的金额存到银行，到60周岁时的存款数额为 ] )1(1[)1(43171R R a X k i k i k k +++=∑=- )17,3,2,1,0(])1(1[1)1(431181 =++-+=-k R R R a k k (1.4) 如果投保人按趸交，k 周岁的人交款额为k B （17,,2,1,0 =k ）。设想投保人将所投保的金额存到银行，到60周岁时的存款数额为 k k k R B Y -+=60)1( （17,,2,1,0 =k ） (1.5) 由（1.3）、（1.4) 、（1.5）式计算结果如表1--2。 表1—2 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 k a 599 652 714 787 872 973 1 094 1 242 1 423 k A 10 782 11 084 11 424 11 805 12 208 12 649 13 128 13 662 14 230 k X 98 370 98 320 98 500 98 890 99 320 99 870 100510 101300 102030 k Y 83 860 84 530 85 410 86 450 87 620 88 880 90 230 91 660 93 160 k 9 10 11 12 13 14 15 16 17 k a 1 605 1 888 2 266 2 795 3 58 4 4 886 k A 14 445 15 104 15 862 16 770 17 920 19 544 k X 99 930 100490 101020 101490 101770 101740 k Y 94 730 96 370 98 070 99 840 101660 103530 105470 107450 109490 从计算结果来看，显然无论哪个年龄的人是按年交，还是趸交都不如将钱存到银行合算，即存款收益都高于投保所得的保险金额。 2.问题（二） 设投保人按年缴，k （k=0，1，2，…，14）周岁的投保人到18、19、20、21、22、25、60周岁时公司的收益额分别为 )14,3,2,1,0(1000) 1()18(1172 =-+=+-=∑k R a Z k i k i k k )14,3,2,1,0(10001(18()19(2 =-+=k R Z Z k k ）） )14,3,2,1,0(10001(19()20(2 =-+=k R Z Z k k ）） )14,3,2,1,0(10001(20()21(2 =-+=k R Z Z k k ）） )14,3,2,1,0(4700 1(21()22(2 =-+=k R Z Z k k ）） )14,3,2,1,0(5700 1(22()25(32 =-+=k R Z Z k k ）） )14,3,2,1,0(600001(25()26(352 =-+=k R Z Z k k ）） 计算可以得到结果如表1--3。 表1--3 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Z k （60） 174640 162020 150700 140500 130410 120770 111260 101990 91 760 k 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Z k （60） 69 460 56 580 41 350 22 210 --4 040 -44330 设投保人按趸交，k （k=0，1，2，---，14）周岁的投保人到18、19、20、21、22、25、60周岁时公司的收益额分别为 )17,3,2,1,0(1000 )1(B )18(182 =-+=-k R Z k k k )17,3,2,1,0(1000 1(18()19(2 =-+=k R Z Z k k ）） )17,3,2,1,0(1000 1(19()20(2 =-+=k R Z Z k k ）） )17,3,2,1,0(1000 1(20()21(2 =-+=k R Z Z k k ）） )17,3,2,1,0(47001(21()22(2 =-+=k R Z Z k k ）） )17,3,2,1,0(5700 1(22()25(32 =-+=k R Z Z k k ）） )17,3,2,1,0(600001(25()26(352 =-+=k R Z Z k k ）） 计算可以得到结果如表1--4。 表1--4 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 )26(k Z 282860 267930 254750 242860 231950 221690 212070 202900 194240 k 9 10 11 12 13 14 15 16 17 )26(k Z 185900 177940 170270 162880 155710 148770 142020 135420 128980 从计算结果可以看出，保险公司的收益是很可观的，特别是趸交的收益高于按年缴的收益，但注意到，对于13和14周岁的投保人按年交公司赔钱，这也说明14周岁以后不能按年缴的理由，也反映出这个方案制定的合理性问题。 另外，实际中保险公司还承担着投保人的意外人身保险问题，所以在公司的收益中也包含着这部分风险费用，在这里我们没有考虑这部分费用。 思考题：对保险人采用何种缴款方式（趸交、年交）合算？ 1.3.4 应急设施的位置问题（AUMCM 1986--B ） 1.问题的提出 美国的里奥兰翘（Rio Rancho ）镇迄今还没有自己的应急设施。1986年该镇得到了建立两个应急设施拨款，每个设施都把救护站、消防队和警察局合在一起。如图1--1指出了1985年每个长方形街区发生应急事件的次数，在北边的L 形区域是一障碍，而在南边的长方形区域内是一个有浅水塘的公园。应急车辆驶过一条南北 向的街道平均要花15s ，而通过一条东西向的街道平均 花20s 。你的任务是确定这两个应急设施的位置，使得 总响应时间最少。 （Ι）假设应急需要集中在每个街区的中心，而应急 设施位于街角处； （Π）假定应急需求是沿包围每个街区的街道上均匀 分布，而应急设施可以位于街道的任何地方。 2.模型的假设 （1）两个障碍区域中均不需要应急服务； （2）每年的应急事件数目比较少，可以认为在同一街区不会同时放生两个事件； （3）忽略车辆拐弯和过十字路口的时间，仅考虑沿 街道行驶的时间； （4）两个设施的功能相同，当应急事件发生时，指挥 中心总是从离事件发生地最近的应急设施派出车辆； 图 1－1 （5）1985年的各街区的应急事件数是真实的，未来的需求分布不会与现在的需求相差太远； （6）当连接两点的不同路径所用时间相同时，路径可以任选其一。 3.模型的建立与求解 模型Ι： 除了上面假设以外，假设在没有障碍的街区应急事件均发生在街区中心，而应急设施的位置设在某街区的街角上。应急车辆做出响应的时间最短是指到达时间发生点的时间；这样3 1 4 2 5 3 2 3 3 2 2 3 3 2 5 3 1 3 4 3 3 5 2 3 4 4 0 1 2 0 1 3 0 2 3 2 3 0 0 4 3 1 0 4 2 可能的两个应急设施的位置点数只有有限个，因此，只需要检验每一对位置点对所有街区发生事件做出的响应时间，选择平均每一次事件响应时间最小的那两个点建立坐标系，左下角（西南角）为原点（0，0），东西为x 轴，南北为y 轴。 （1）一个位置点对某一街区发生事件的响应时间=位置点到街区的街道数×车辆行驶一条街道的时间=该街区发生事件的次数； （2）一个位置点对全镇所有应急事件的响应时间总和=该位置点对所有街区的应急事件响应时间的总和； （3）一个位置点对全镇任一次应急事件的平均响应时间=总响应时间/时间总数； （4）取使平均响应时间最小的那个对应的位置点为应急设施的位置。 两个设施到任一街区（X,Y)（距原点最近的街角坐标）的时间计算公式为 5.1715)5.0(120)5.0(11-?+-+?+-=Y Y X X T , 5.1715)5.0(220)5.0(22-?+-+?+-=Y Y X X T 其中)1,1(Y X 表示第一设施的位置坐标， )2,2(Y X 表示第二设施的位置坐标；0.5是因为X,Y 分别表示街区左下（西南）角的坐标，（X+0.5,Y+0.5)是表示街区中心的坐标，设施到街区的距离为设施到街区中心的距离。“－17.5”是因车辆穿过一条东西街道要用20s ，南北用15s ，前面的距离算到了街区中心，而车辆行驶只到最邻近的街角上，因此东西减去10s ，南北减去7.5s 。取最邻近的一个设施所需时间： TM=min )2,1(T T 由以（X,Y)为坐标的街区发生事件的次数W(X,Y)，可以求出两个设施到任意街区最邻近的街角所需的时间： TOT=T M ×W(X,Y) 求总响应时间：∑=TOT T 平均响应时间：s T 109/ 经过计算可得，两个应急设施的位置分别为（3，4） 和（3，8），并且可算出从这两个设施到任意一个街区最 邻近的街角上的平均时间为29.5s （如图1--2）。这是最佳 的两个位置，其他的任何地方的响应时间都会大于29.5s 还注意到从这两个位置到邻近障碍区的街区并不因为障 碍增加时间。 模型Π： 除了前面的假设以外，假设每个街区的应急事件都发 生在该街区四周的街道上，而且均匀分布，两个设施还是 设在街角上。 基本上采取模型Ι的方法过程，注意到由于可能的事件 发生点在街道上均匀分布，为此，在每一条街道上的事件 发生点不必一点点的考虑，可以认为每一条街道上发生的 图 1－2 事件都集中在一点上（类似于均匀分布密度的直线质量可以认为集中在一点上--质点），该点应该是从这一点到街角的距离等于到实际事件发生点的平均距离，这一点一定是在街道的中心。“每一个方形街区四周的每一条街道上发生事件的次数=该方形街区事件数的1/4”。因3 1 4 2 5 3 2 3 3 2 2 3 3 2 5 3 1 3 4 3 3 5 2 3 4 4 0 1 2 0 1 3 0 2 3 2 3 0 0 4 3 1 0 4 2 此，“每一条街道上发生事件的次数两个相邻街区事件数的1/4之和”。 首先求两个设施的位置到任意街道中心（事件点）处所需要的时间： 1512011?-+?-=Y Y X X T , 1522022?-+?-=Y Y X X T 注：这里因应急车辆不需要到街区中心，也不需要过街道，所以，不需要减17.5，和加0.5。 由TM=min )2,1(T T ,再求两个设施到任意街道中点所需要的总时间，分为两个部分： 东西方向的为)]1,5.0(),5.0([4 1--+-? =Y X W Y X W TM TOT 南北方向的为)]5.0,1()5.0,([41--+-?=Y X W Y X W TM TOT 最后求总的响应时间： ∑ =TOT T 平均响应时间为T/109s 经计算可得两个设施的最合适的位置是（3，4） 和（3，8），同模型Ι，平均响应时间为47.0秒。从响 应时间来看模型Π比模型Ι多了17.5秒，这是由模型Π 的条件所决定的。主要是模型Π的车辆可行驶到实际 事件点，而模型Ι中的车辆只能到发生事件的街区最邻 近的角上（如图1--3）。 该模型从分布图上可以看出，车辆到绕过障碍区 的街道上去也不会增加时间。 4.模型的分析 （1）因为问题中给出的仅是1985年一年的事件 分布数据，模型中不可能做更多的计算，或者作图等 图1－3 如果所给数据覆盖几年的话就好了，模型中对于障碍没有充分地考虑，当然如果给出环绕障碍物弯曲的有关数据，可以做得更好，但模型会复杂。 （2）模型中全部忽略了车辆转弯的时间，这种假设不会有太大的影响，对模型Ι的任何路线至多有一个转弯，对模型Π只有两条路线有两个转弯，其他至多有一个转弯。 （3）在前面的假设中，设施的应急车辆只被派往正常范围内的应急事件点，即便是被派往正常范围以外，影响也不大。 （4）假设中把应急设施设在街道交叉口处，可对任何方向的应急事件灵活地做出响应，指挥中心可以随机应变地调动车辆，更容易转弯、调头等。 1.3.5 几个简单的数学建模问题 问题（一）：储蓄问题 张老师现有本金N 元，打算留给孩子10年以后上大学使用，他想以“整存整取”的方式存入银行，请你根据银行现行的“整存整取”利率表（分三个月、半年、一年、二年、三年、五年、八年），选择一种合适的存款方式组合，使10年后获息最多。 问题（二）：贷款修桥问题 3 1 4 2 5 3 2 3 3 2 2 3 3 2 5 3 1 3 4 3 3 5 2 3 4 4 0 1 2 0 1 3 0 2 3 2 3 0 0 4 3 1 0 4 2 某市政府拟贷款10亿元人民币修建一条高速公路，年利率8%，按设计方案预言公路建成后每天收车辆过路费35万元。另外，每年养路费和职工工资等开支费用为2 000万元。问 （1）该市政府需要多少年才能还清这笔贷款？ （2）如果每天所收车辆过路费只有30万元，那么该市政府能否还清贷款？ （3）如果银行要求必须在15年内还清贷款，那么每天收过路费至少要多少钱？ 问题（三）：军备竞赛问题 目前，世界并不太平，国与国之间和地区之间的种族歧视、民族矛盾、经济利益冲突等问题造成的局部战争和地区的武装冲突时有发生，有的长期处于敌对状态，从而导致了军备竞赛。随着高科技的发展，军事装备现已成为决定战争胜负的重要因素。在这里我们所说的军备是指军事实力的总和，主要包括军事装备、军事兵力、军事费用等。实际中，引起军事竞赛的因素很多，试分析与军备竞赛有关的诸多因素，建立相应的数学模型，并就相互之间的关系进行讨论。 问题（四）：选择评委问题 某电视台准备举行青年歌手大奖赛。拟从12名评委中选择10名高水平的评委，主要是依据上一年这12名评委为10名歌手打分的情况来选择，具体数据如表1--5。 表1--5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 9.10 9.10 9.1 2 9.14 9.17 9.18 9.20 9.21 9.2 3 9.25 9.28 9.30 2 9.00 8.98 8.95 9.1 3 9.15 9.16 9.00 9.20 9.23 9.26 9.28 9.31 3 8.89 8.83 8.90 9.10 9.22 9.16 9.18 9.25 9.22 9.30 9.30 9.32 4 9.20 9.00 9.10 9.21 9.23 9.30 9.23 9.20 9.21 9.2 5 9.2 6 9.28 5 8.98 8.88 9.00 9.13 9.21 9.24 9.2 6 9.23 9.2 7 9.2 8 9.20 9.30 6 9.13 9.11 9.14 9.16 9.14 9.16 9.20 9.26 9.23 9.26 9.28 9.31 7 9.23 9.10 9.24 9.18 9.25 9.23 9.27 9.29 9.26 9.27 9.26 9.36 8 9.12 9.03 9.25 9.25 9.21 9.23 9.28 9.30 9.28 9.26 9.30 9.40 9 9.30 9.20 9.30 9.34 9.32 9.35 9.29 9.32 9.34 9.36 9.32 9.45 10 9.20 9.12 9.25 9.30 9.28 9.33 9.23 9.30 9.34 9.27 9.38 9.40 请你对评委的评判水平做出评价，并确定出10名高水平的评委参加今年的评判工作。 1.4 数学建模的方法和步骤 1.4.1 数学建模方法 数学建模一般是通过问题的实际背景，给出一些已知信息，这些信息可以是一组实测数据或模拟数据，也可以是若干参数、图形，或者仅给出一些定性描述，依据这些信息建立数学模型的方法有很多，但从基本解法上可以分为五大类： （1）机理分析方法：主要是根据实际中的客观事实进行推理分析，用已知数据确定模型的参数，或直接用已知参数进行计算。 （2）构造分析方法：首先建立一个合理的模型结构，再利用已知信息确定模型的参数， 或对模型进行模拟计算。 （3）直观分析方法：通过对直观图型、数据进行分析，对参数进行估计、计算，并对结果进行模拟。 （4）数值分析方法：对已知数据进行数值拟合，可选用插值方法、差分方法、样条函数方法、回归分析方法等。 （5）数学分析方法：用现成的数学方法建立模型，如图论，微分方程、规划论、概率统计方法等。 在实际建模的过程中，根据问题的实际背景和已知信息选择适当方法，尽量使用现成的数学方法。如果已知信息不明确，或不完整时，可以进行适当补充或舍弃，甚至可以修改题目的条件、参数和数据。也可以先做最简单的模型，然后再逐步地完善改进。 数学建模或参加建模竞赛一般应具备的方法和知识：一是要掌握常用的建模方法没，如机理分析法，层次分析法，差分法，图论法，插值与拟合法，统计分析法，优化方法等。二是要有广泛的知识，特别是必备的数学知识，如微分方程，概率统计，规划论，图与网络，数值计算，排队论，对策论，决策论等。另外，还应了解一些现代应用数学的知识，如模糊数学，灰色理论，时间序列，神经网络等。这些都是数学建模教学的内容，数学建模所需要的知识首先是广，其次才是精。同时，在教学中还应介绍一些典型的数学模型案例，以及实际中政治，经济，工业农业，商业管理，日常生活中的建模实例等内容。 1.4.2数学建模的步骤 数学建模是一种创造性的过程，它需要相当高的观察力，想象力和灵感。数学建模的过程是有一定的阶段性的，解决的问题都是来自于现实世界之中。数学建模的过程是就是对问题进行分析、提炼，用数学语言做出描述，用数学方法分析、研究、解决，最后回到实际中去，应用于解决和解释实际问题，乃至更进一步的作为一般模型来解决更广泛的问题。数学建模的流程为 实际问题---抽象、简化问题，明确变量和参数—根据某种定律建立变量和参数间数学关系（数学模型）---解析地或近似地求解该数学模型---解释、验证求解结果---应用与实际。 对我们来说，这一过程为 问题分析---模型假设---模型建立---模型求解---解的分析与检验——论文写作---应用实际。 （1）问题的分析 数学建模的问题，通常都是来自于实际中的各个领域的实际问题，没有固定的方法和标准的答案，因而既不可能明确给出该用什么方法，也不会给出恰到好处的条件，有些时候所给出的问题本身就是含糊不清的。因此，数学建模的第一步就应该是对问题所给出的信息，要完成的任务和所要做的工作，可能用到的知识和方法问题的特点和限制条件，重点和难点，开展工作的程序和步骤，同时，还要明确题目所给出条件和数据在解决问题中的意义和作用，本质的和非本质的，必要的和非必要的等等。从而，可以在建模的过程中，适当地对已有的条件和数据进行必要的简化或修改，也可以适当地补充一些必要的条件和数据（2）模型的假设 实际中，根据问题的实际意义，在明确建模目的的基础上，对所研究的问题进行必要的、合理的简化，用准确简练的语言给出表述，即模型的假设，这是数学建模的重要一步。合理假设在数学建模中出除了起着简化问题的作用外，还对模型的求解方法和使用范围起着限定作用。模型假设的合理性问题是评价一个模型优劣的重要条件之一，也是模型的建立的不成功。为此，实际中要做出合适的假设，需要一定的经验和探索，有时候需要在建模的过程中对已做的假设进行不断地补充和修改。 （3）模型的建立 在建立之前，首先要明确建模的目的，因为对于同一个实际问题，出于不同的目的所建立的数学模型可能会有所不同。在通常情况下，建模的目的可以是描述或解释现实世界的现象；也可以是为了预报一个事件是否会发生，或未来的发展趋势；也可以是为了优化管理、决策或控制等。如果是为了描述或解释现实世界，则一般采用机理分析的方法去研究事物的内在规律；如果是为了预测预报，则常常可以采用概率统计、优化理论或模拟计算等有关的建模方法；如果是为了优化管理、决策或控制等目的，则除了有效地利用上述方法之外，还需要合理地引入一些量化的评价指标以及评价方法。对于实际中的一个复杂的问题，往往是要综合运用多种不同方法和不同学科的知识来建立数学家模型，才能够很好地解决这一个问题。在明确建模目的的基础上，在合理的假设之下，就可以完成建立模型的任务，这是我们数学建模工作中最重要的一个环节。根据所给的条件和数据，建立起问题中相关变量或因素之间的数学规律，可以是数学表达式、图形和表格，或者是一个算法等，都是数学模型的表示形式，这些形式有时可以相互转换。 （4）模型的求解 不同的数学模型的求解方法一般是不同的，通常涉及不同数学分支的专门知识和方法，这就要求我们除了熟练地掌握一些数学知识和方法外，还应具备在必要时针对实际问题学习新知识的能力。同时，还应具备熟练的计算机操作能力，熟练掌握一门编程语言和一两个数学工具软件包的使用。不同的数学模型求解的难易程度是不同的。一般情况下，对较简单的问题，应力求普遍性；对较复杂的问题，可从特殊到一般的求解思路来完成。 （5）解的分析与检验 对于所求出的解，必须要对解的实际意义进行分析，即模型的解在实际问题中说明了什么、效果怎样、模型的适用范围如何等等。同时，还要进行必要的误差分析和灵敏度分析等工作。由于数学模型是在一定的假设下建立的，而且利用计算机的近似求解，其结果产生一定的误差是必然的。通常意义下的误差主要来自于模型的假设引起的误差、计算机产生的舍入误差和问题的数据本身误差。实际中，对这些误差很难准确地给出定量估计，往往是针对某些主要的参数做相应的灵敏度分析，即当一个参数有很小的扰动时，对结果的影响是否也很小，由此可以确定相应变量和参数的误差允许范围。 （６）论文写作 因为数学建模工作的目的是为了解决实际问题，所以工作完成以后要写出一篇论文，即等于一篇研究报告．论文要力图通俗易懂，能让人明白你用什么方法解决了什么问题，结果如何，有什么特点．为此，应尽可能是论文的表述清晰、论述严密、层次分明、重点突出、符合科技论文的写作规范。同时，要注意论文的写作工作是贯穿始终的，在建模的每个阶段都应该把你的主要思路和工作写下来，这是论文写作的第一手材料。 （７）应用实际 对于所建立的数学建模以及求解结果，只有拿到实际中去应用检验后，才被证明是正确的。否则，就需要修正模型的假设或条件，重新建立模型，直到通过实际的检验为止，方可应用于实际。 １.５数学建模与能力培养 通过学习数学建模这门课程和从事这方面的工作，主要是扩大学生的知识面，培养和提高学生综合运用所学知识解决实际问题的综合能力，即“数学建模的能力”。具体地讲，数学建模有利于培养以下几个方面的能力： （1）丰富灵活的想象能力：数学建模要解决的问题往往都需要多学科的知识和多种不同的方法，因此，需要我们具备丰富的想象能力，有人说“想象力是最高的天赋——是一种把原始经历组合成具体形象的能力，一种把握层次能力。” （2）抽象思维的简化能力：实际中的问题往往都是很复杂的，数学建模的过程就是通过对问题进行抽象、简化将其转化为数学问题。因此，这种抽象思维的简化能力是必不可少的，数学建模的学习和训练有利于培养这种能力。 （3）一眼看穿的洞察力：洞察力是一种直觉的领悟，是把握抽象事物内在的或隐藏的和本质的能力，简言之就是“一眼看穿”的能力。这种能力对于数学建模是非常重要的，但需要经过艰苦的、长期的经验积累和有针对性地训练。 （4）发散思维的联想能力：发散思维是发明创造的一个有力武器，在数学建模的过程中，通过某些关键信息展开联想，这是一种“由此及彼，有彼及此”的能力。 （5）与时俱进的开拓能力：随着社会的进步和发展，科学技术也很快速地发展，实际中的问题复杂多变，数学建模也必须要与时俱进，发扬开拓精神，培养创新能力，这也是新型创新人才素质的一部分。 （6）学以致用的应用能力：学以致用是21 世纪高素质应用型人才所具备的一种素质，因为一个人所掌握的知识总是有限的，因此，我们必须具备这种急用先学，学以致用的应用能力，数学建模是培养我们这种能力的一种有效途径。 (7)回抓重点的判断能力：数学建模的问题所给条件和数据往往不是恰到好处，有时也可能会是杂乱无章的，这就要求我们具备特有的一种会抓重点的判断能力，充分利用一直信息，找出突破口，来解决问题。 （8）高度灵活的综合能力：因为数学建模的问题是综合性的，解决问题所需的知识和方法也是综合性的，因此，我们能力也必须是综合性。否则，我们将会是“只见树木，不见森林”，不可能完整地解决问题。 （9）使用计算机的动手能力：数学建模必须要熟练掌握计算机的操作，以及工具软件的使用和计算编程，这是因为对实际问题进行分析和建立数学建模以后的求解都有大量的推理运算、数值计算、做图等工作，这都需要通过计算机和软件技术来实现。 （10）信息资料的查阅能力：信息资料的查阅能力是科技人才所必备、数学建模所必需的能力。 （11）科技论文的写作能力：论文的写作能力是数学建模的基本技能之一，也是科技人才的基本能力之一，是表达我们所做工作的惟一方式。通过论文，要让读者清楚地知道用什么方法解决了什么问题，结果为何，效果怎么样等等。 (12)团结协作的攻关能力：数学建模都是以小组为单位展开工作的，体现的是团队精神，培养的是团队协作的能力，也是未来科研工作所逼具备的能力，不具备这种能力的人则将一事无成。 第一章引言 众所周知，21世纪是知识经济的时代，所谓知识经济是以现代科学技术为核心，建立在知识和信息的生产、存储、使用和消费之上的经济；是以智力资源为第一生产力要素的经济；是以高科技产业为支柱产业的经济。知识创新和技术创新是知识经济的基本要求和内在动力，培养高素质、复合型的创新人才是时代发展的需要。创新人才主要是指具有较强的创新精神、创新意识和创新能力，并能够将创新能力转化为创造性成果的高素质人才。培养创新人才，大学教育是关键，而大学的数学教育在整个大学教育，乃至在人才的培养中都起着重要的奠基作用。正如著名的数学家王梓坤院士所说：“今天的数学兼有科学和技术两种品质，数学科学是授人以能力的技术。”数学作为一门技术，现已经成为一门能够普遍实施的技术，也是未来所需要的高素质创新人才必须要具有的一门技术。随着知识经济发展的需要，创新人才的供需矛盾日趋突现，这也是全社会急呼教学改革的根本所在。因此，现代大学数学教育的思想核心就是在保证打捞学生基础的同时，力求培养学生的创新意识与创新能力、应用意识与应用能力。也就是大学数学教育应是基于传授知识、培养能力、提高素质于一体的教育理念之下的教学体系。数学建模活动是实现这一改革目标的有效途径，也正是数学建模活动为大学的数学教学改革打开了一个突破口，近几年的实践证明，这一改革方向是正确的，成效是显著的。 1.1 数学建模的作用和地位 我们培养人才的目的主要是为了服务于社会、应用于社会，促进社会的进步和发展。而社会实际中的问题是复杂多变的，量与量之间的关系并不明显，并不是套用某个数学公式或只用某个学科、某个领域的知识就可以圆满解决的，这就要求我们培养的人才应有较高的数学素质。即能够从众多的事物和现象中找出共同的、本质的东西，善于抓住问题的主要矛盾，从大量的数据和定量分析中寻找并发现规律，用数学的理论和数学的思维方法以及相关的知识去解决，从而为社会服务。基于此，我们认为定量分析和数学建模等数学素质是知识经济时代人才素质的一个重要方面，是培养创新能力的一个重要方法和途径。因此，开展数学建模活动将会在人才培养的过程中有着重要的地位和起着重要的作用。 1.1.1 数学建模的创新作用 数学科学在实际中的重要地位和作用已普遍地被人们所认识，它的生命力正在不断地增强，这主要是来源于它的应用地位。各行各业和各科学领域都在运用数学，或是建立在数学基础之上的，正像人们所说的“数学无处不在”已成为不可争辩的事实。特别是在生产实践中运用数学的过程就是一个创造性的过程，成功运用的核心就是创新。我们这里所说的创新是指科技创新，所谓的科技创新主要是指在科学拘束领域的新发明、新创造。即发明新事物、新思想、新知识和新规律；创造新理论、新方法和新成果；开拓新的应用领域、解决新的问题。大学是人才培养的基地，而创新人才的培养核心是创新思想、创新意识和创新能力的培养。传统的教学内容和教学方法显然不足以胜任这一重担，数学建模本身就是一个创造性的思维过程，从数学建模的教学内容、教学方法，以及数学建模竞赛活动的培训等都是围绕着一个培养创新人才的核心这个主题内容进行的，其内容取材于实际、方法结合于实际、结果应用于实际。总之，知识创新、方法创新、结果创新、应用创新无不在数学建模的过程中得到体现，这也正是数学建模的创新作用所在。 1.1.2 数学建模的综合作用 对于我们每一个教数学基础科的教师来说，在上第一堂课的时候，按惯例都会讲一下课 数学建模部分课后习题解答 中国地质大学 能源学院 华文静 1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解： 模型假设 （1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况）， 即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件 （3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间 距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。 模型建立 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。 注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。 设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。 由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD 是对称中心图形，绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但A,C 和B,D 对换了。因此，记A ，B 两脚与地面竖直距离之和为)(θf ，C,D 两脚之和为 )(θg ，其中[]πθ，0∈，使得)()(00θθg f =成立。 模型求解 如果0)0()0(== g f ，那么结论成立。 数学建模作业——实验1 学院：软件学院 姓名： 学号： 班级：软件工程2015级 GCT班 邮箱： 电话： 日期：2016年5月10日 基本实验 1.椅子放平问题 依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。 答：能放平，证明如下： 如上图，以椅子的中心点建立坐标，O为原点，A、B、C、D为椅子四脚的初始位置，通过旋转椅子到A’、B’、C’、D’，旋转的角度为α，记A、B两脚，C、D两脚距离地面的距离为f(α)和g(α)，由于椅子的四脚在任何位置至少有3脚着地，且f(α)、g(α)是α的连续函数，则f(α)和g(α)至少有一个的值为0，即f(α)g(α)=0，f(α)≥ 0，g(α)≥0，若f(0)＞0，g(0)=0， 则一定存在α’∈（0，π），使得 f(α’)=g(α’)=0 令α=π（即椅子旋转180°,AB 边与CD 边互换），则 f(π)=0，g(π)＞0 定义h(α)=f(α)-g(α)，得到 h(0)=f(0)-g(0)＞0 h(π)=f(π)-g(π)＜0 根据连续函数的零点定理，则存在α’∈（0，π），使得 h(α’)=f(α’)-g(α’)=0 结合条件f(α’)g(α’)=0,从而得到 f(α’)=g(α’)=0，即四脚着地，椅子放平。 2. 过河问题 依照1.2.2节中的“商人安全过河”的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米，试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量的少。 答：用i =1,2,3,4分别代表人，猫，鸡，米。1=i x 在此岸，0=i x 在对岸，()4321,,,x x x x s =此岸状态，()43211,1,1,1x x x x D ----=对岸状态。安全状态集合为 : 第一章 1-1习题 1.设用原料A 生产甲、乙、丙的数量分别为131211,,x x x ，用原料B 生产甲、乙、丙的数量分别为232221,,x x x ，原料C 生产甲、乙、丙的数量分别为333231,,x x x ，则可以建立线性规划问题的数学模型： ?? ??? ??? ?? ?????=≥≤+--≤+--≥--≤+--≥--≤++≤++≤++++++++-+=) 3,2,1,(,00 5.05.05.004.0 6.06.00 15.015.085.008.02.02.006.06.04.012002500 2000..8.38.56.78.18.36.52.08.16.3max 33231332221232 22123121113121113332312322 21131211333231232221131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x S ij LINDO 求解程序见程序XT1-1-1。 求解结果： 1200 ,22.1482,33.473,0,78.1017,66.1526322212312111======x x x x x x 0,0,0332313===x x x ，24640max =S （元） 。 2.设用设备,,,,,32121B B B A A 加工产品Ⅰ的数量分别为54321,,,,x x x x x ,设备121,,B A A 加工产品Ⅱ的数量分别为876,,x x x ,设备22,B A 加工产品Ⅲ的数量分别为109,x x ,则目标函数为: 976321)5.08.2())(35.02())(25.025.1(max x x x x x x S -++-+++-= 4000 7200700011478340008625010000129731260001053005 1048397261x x x x x x x x x x ?-+?-+?-++?-+? -整理后得到: ??? ??? ?=≥=-=-+=--++≤≤+≤+≤++≤+-+-++---+=)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1(,00;0;0;40007;7000114;400086; 100001297;6000105..2304.19256.15.03692.115.135.04474.0375.07816.075.0max 10987654321510483972611098765 4321j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x x S j 整数 LINDO 求解的程序见程序XT1-1-2。 求解结果: 324,500,0,571,859,0,230,120010987654321==========x x x x x x x x x x 446.1155max =S 3.设自己生产甲、乙、丙的数量分别为312111,,x x x ,外协加工甲、乙、丙第数量分别为322212,,x x x （外协加工的铸造、机加工和装配的工时均不超过5000小时）,则 第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学 生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。 郑重声明： 本作业仅供参考，可能会有错误，请自己甄别。 应用运筹学作业 6.某工厂生产A，B，C，D四种产品，加工这些产品一般需要经刨、磨、钻、镗四道工序，每种产品在各工序加工时所需设备台时如表1-18所示，设每月工作25天，每天工作8小时，且该厂有刨床、磨床、钻床、镗床各一台。问：如何安排生产，才能使月利润最大？又如A，B，C，D四种产品，每月最大的销售量分别为300件、350件、200件和400件，则该问题的线性规划问题又该如何？ 1234 四种产品的数量，则得目标函数： Max=(200?150)x1+(130?100)x2+(150?120)x3+(230?200)x4 =50x1+30x2+30x3+30x4 生产四种产品所用时间： (0.3+0.9+0.7+0.4)x1+(0.5+0.5+0.5+0.5)x2+(0.2+0.7+0.4+ 0.8)x3+(0.4+0.8+0.6+0.7)x4≤25×8 即：2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200 又产品数量不可能为负，所以：x i≥0(i=1,2,3,4) 综上，该问题的线性规划模型如下： Max Z=50x1+30x2+30x3+30x4 S.T.{2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200 x i≥0(i=1,2,3,4) 下求解目标函数的最优解： max=50*x1+30*x2+30*x3+30*x4; 2.3*x1+2.0*x2+2.1*x3+2.5*x4<200; Global optimal solution found. Objective value: 4347.826 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 86.95652 0.000000 X2 0.000000 13.47826 X3 0.000000 15.65217 西南大学2014年春《数学建模》作业及答案(已整理) 第一次作业 1：[填空题] 名词解释: 1．原型 2．模型 3．数学模型 4．机理分析 5．测试分析 6．理想方法 7．计算机模拟 8．蛛网模型 9．群体决策 10．直觉 11．灵感 12．想象力 13．洞察力 14．类比法 15．思维模型 16．符号模型 17．直观模型 18．物理模型19．2倍周期收敛20．灵敏度分析21．TSP问题22．随机存储策略23．随机模型24．概率模型25．混合整数规划26．灰色预测 参考答案： 1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。13．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。14．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。15．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。16．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。17．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。18．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。19．2倍周期收敛：在离散模型中，如果一个数列存在两个收敛子列就称为2倍周期收敛。20．灵敏度分析：系数的每个变化都会改变线性规划问题，随之也会影响原来求得的最优解。为制定一个应付各种偶然情况的全能方法，必须研究以求得的最优解是怎样随输入系数的变化而变化的。这叫灵敏性分析。21．TSP问题：在加权图中寻求最佳推销员回路的问题可以转化为在一个完备加权图中寻求最佳哈密顿圈的问题，称为TSP问题。22．随机存储策略：商店在订购货物时采用的一种简单的策略，是制定一个下界s和一个上界S，当周末存货不小于s时就不定货；当存货少于s 时就订货，且定货量使得下周初的存量达到S，这种策略称为随机存储策略。23．随机模型：如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型，简称为随机模型。24．概 1．（1） n=101; x1=linspace(-1,1,n); x2=linspace(-2,2,n); y1=[sqrt(1-x1.^2);-sqrt(1-x1.^2)]; y2=[sqrt(4-x2.^2);-sqrt(4-x2.^2);sqrt(1-(x2.^2)/4);-sqrt(1-(x2.^2)/4)]; plot(x1,y1) … hold on; plot(x2,y2) title('椭圆x^2/4+y^2=1的内切圆和外切圆') axis equal -2.5 -2-1.5-1-0.500.51 1.52 2.5 -2-1.5-1-0.500.511.5 2椭圆x 2/4+y 2=1的内切圆和外切圆 （2） x1=linspace(-2,2,101); / x2=linspace(-2,8); axis equal plot(exp(x1),x1,x1,exp(x1),x2,x2) title('指数函数y=exp(x)和对数函数y=ln(x)关于y=x 对称') -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -2-101234567 8指数函数y=exp(x)和对数函数y=ln(x)关于y=x 对称 （3） hold on — q=input('请输入一个正整数q;') for i=1:q for j=1:i if rem(j,i) plot(j/i,1/i) end end end @ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 00.050.10.150.20.250.30.350.40.45 0.5 3．代码如下： n=input('请输入实验次数n=') k=0; for i=1:n 。 x=ceil(rand*6)+ceil(rand*6); if x ==3|x==11 k=k+1; elseif x~=2&x~=7&x~=12 y= ceil(rand*6)+ceil(rand*6); while y~=x&y~=7 y=ceil(rand*6)+ceil(rand*6); end if y==7 ； k=k+1; end end end 数学建模简介 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，也就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 数学建模的广泛应用 数学建模的应用逐渐变的广泛，数学建模大量用于一般工程技术领域，用于代替传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段；在高新科技领域，成为必不可少的工具，无论是在通信、航天、微电子、自动化都是创新工艺、开发新 产品的必要手段；在新的科研领域在用数学方法研究 其中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的 步骤和这些学科发展和应用的基础。 将计算机技术和数学建模进行紧密结合，使得原 本抽象的数学模型生动具体的呈现在研究者面前，使 得问题得到更好的解决。 数学建模的分支——数据挖掘 数据挖掘（Data Mining，DM）是目前人工智能和数 据库领域研究的热点问题，所谓数据挖掘是指从数据库 的大量数据中揭示出隐含的、先前未知的并有潜在价值 的信息的非平凡过程。数据挖掘是一种决策支持过程， 它主要基于人工智能、机器学习、模式识别、统计学、 数据库、可视化技术等，高度自动化地分析企业的数据， 做出归纳性的推理，从中挖掘出潜在的模式，帮助决策 者调整市场策略，减少风险，做出正确的决策。 数据挖掘是通过分析每个数据，从大量数据中寻找其规律的技术，主要有数据准备、规律寻找和规律表示3个步骤。数据准备是从相关的数据源中选取所需的数据并整合成用于数据挖掘的数据集；规律寻找是用某种方法将数据集所含的规律找出来；规律表示是尽可能以用户可理解的方式（如可视化）将找出的规律表示出来。 数据挖掘的任务有关联分析、聚类分析、分类分析、异常分析、特异群组分析和演变分析，等等。 数学建模 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足 （目标函数） 2134m ax x x z += (1) s.t. （ 约 束 条 件 ） ?????? ?≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数， 精品文 （2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。上述即为一规划问题数学模型的三个要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min 其中c 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，A 为n m ?矩阵。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max 的Matlab 标准型为 b Ax x c x T -≤-- that such min 1.3 线性规划问题的解的概念 一般线性规划问题的标准型为 ∑==n j j j x c z 1min (3) ∑==≤n j i j ij m i b x a 1,,2,1 s.t. (4) 可行解 满足约束条件（4）的解),,,(21n x x x x =，称为线性规 09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很 可能是否定的。 因此对这个问题我们假设： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设 条件成立，那么答案是肯定的。以长方 桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图 所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、、D的初始位置在与x轴平行，再 假设有一条在x轴上的线,则也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令() fθ为A、B离地距离之和， ()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3） ，三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =(0)0g >（若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，与互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 10； 10=235/1000； 数学建模第一次综合练习班级：数学123班 成员：蒋滢蓥（12170310）汤丽娅（12170321） 吴瑞（12170322） 2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k>r 。在每个生产周期T 内，开始的一段时间（0 1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。 你是否走得越快，淋雨量越少呢？ 2.假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书 馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？ 3.一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早 6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？ 4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？ 5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家 中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？ 6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先 约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？ 7.设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至 少存在两人他们认识的人一样多。 8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10 端小孔的 面积为0.5 9.假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜 坡，计算这种情 下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？ 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 :顶=1：a:b ，选坐v>0,而设语雨速 L( 1q -+v x ),v≤x Q(v)= L( v x -q +1),v>x 2.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周 常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤： 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。 步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。 2016年数学建模论文 第套 论文题目： 专业、姓名： 专业、姓名： 专业、姓名： 提交日期：2016.6.27 题目：人口增长模型的确定 摘要 对美国人口数据的变化进行拟合，并进行未来人口预测，在第一个模型中，考虑到人口连续变化的规律，用微分方程的方法解出其数量随时间变化的方程，先求对数用matlab里线性拟合求出参数，即人口净增长率r=0.0214,对该模型与实际数据进行对比，并计算了从1980年后每隔10年的人口数据，与实际对比，有很大出入。因此又改进出更为符合实际的阻滞增长模型，应用微分方程里的分离变量法和积分法解出其数量随时间变化的方程，求出参数人口增长率r=0.0268和人口所能容纳最大值m x=285.89,与实际数据对比，拟合得很好，并预测出1980年后每隔10年的人口数据，与实际对比，比较符合。为了便于比较两个模型与实际数据的描述情况作对比，又做出了两个模型与实际数据的对比图，并计算了误差。 关键词：人口预测微分方程马尔萨斯人口增长模型阻滞增长模型 一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示： 表1 人口记录表 试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。 二、问题分析 由于题目已经说明首先用马尔萨斯人口增长模型来刻划，列出人口增长指数增长方程并求解，并进行未来50年内人口数据预测，但发现与实际数据有较大出入。考虑到实际的人口增长率是受实际情况制约的，因此，使人口增长率为一变化的线性递减函数，列出人口增长微分方程，求出其方程解，并预测未来五十年内人口实际数据。 三、问题假设 1.假设所给的数据真实可靠; 2.各个年龄段的性别比例大致保持不变; 数学建模模拟试题及答案 一、填空题（每题5分，共20分） 1. 若,, x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是. 2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 . 3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型. 二、分析判断题（每小题15分，满分30分） 1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种. 2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 ),m l /m g (100/56 又过两个小时，含量降为),m l /m g (100/40试判断，当事故发生时，司 机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)m l /m g (. （提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ?+内酒精浓度的改变量为 t t kC t C t t C ??=??+)()()( 其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.） 三、计算题（每题25分，满分50分） 1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答： （1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况. §9.2合作对策模型 力合作，常常可以获得更大的总收益（或受到更小的总损失）。本节主要讨论在这种合作中应当如何分配收益（或分摊损失），这一问题如果处理不当，合作显然是无法实现的。先让我们来分析一个具体实例 例7有三个位于某河流同旁的城镇城1、城2、城3(如图）三城镇的污水必须经过处理后方能排入河中，他们既可以单独建立污水处理厂，也可以通过管道输送联合建厂。为了讨论方便起见，我们再假设污水只能由上游往下游。 用Q表示污水量，单位为米3/秒，L表示管道长度，单位为公里，则有经验公式： 建厂费用 C 1=730Q0.712（万元） 管道费用 C 2=6.6Q0.51L(万元） 已知三城镇的污水量分别为： Q 1=5米3/秒，Q 2 =3米3/秒，Q 3 =5米3/秒，问： 三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？每一城镇负担的费用应各为多少？ 城一 城二 城三38公里 20公里 分析本问题中三城镇处理污水可以有五种方案： (1)每城镇各建一个处理厂（单干）。 (2)城1,城2合建一个,城3单独建一个(1、2城合作建于城2处)。 (3)城2,城3合建一个,城1单独建一个(2、3城合作建于城3处)。 (4)城3,城1合建一个,城2单独建一个(1、3城合作建于城3处)。 (5)三城合建一个污水处理厂（建于城3处）城一城二城三 38公里20公里容易计算：方案总投资(：万元) 1620025800 3 59504 623055560以三城合作总投资为最 少 费用怎么分摊呢？ 建厂费用按三城污水量之比5：3：5分摊，管道是为城1、城2建的，应由两城协商分摊。城一城二城三 38公里 20公里建厂处同意城3意见，由城2→城3的管道费用可按污水量之比5：3：5分摊，但城1→城2的管道费用应由城1承担。分摊方案有道理，但得作一番“可行性论证”，城1的“可行性论证”：联合建厂费：（万元）城1负担：（万元）城1→城2管道费：（万元）全部由城1负担城2→城3管道费：（万元）城1负担：（万元）城1的总负担：约为2457万元 4530)535(730712.0=++?17424530135≈?3002056.651.0≈??72438)35(6.651.0≈?+?5.42572485=?城1自己建厂费用：2300万元合作后城1费用增加！差点做了冤大头！！！ 习 题 1 1. 请编写绘制以下图形的MA TLAB 命令，并展示绘得的图形. (1) 221x y +=、224x y +=分别是椭圆2241x y +=的内切圆和外切圆. (2) 指数函数x y e =和对数函数ln y x =的图像关于直线y=x 对称. (3) 黎曼函数 1, (0)(0,1) 0 , (0,1), 0,1 q x p q q x y x x x =>∈?=? ∈=?当为既约分数且当为无理数且或者 的图像（要求分母q 的最大值由键盘输入）. 3. 两个人玩双骰子游戏，一个人掷骰子，另一个人打赌掷骰子者不能掷出所需点数，输赢的规则如下：如果第一次掷出3或11点，打赌者赢；如果第一次掷出2、7或12点，打赌者输；如果第一次掷出4、5、6、8、9或10点，记住这个点数，继续掷骰子，如果不能在掷出7点之前再次掷出该点数，则打赌者赢. 请模拟双骰子游戏，要求写出算法和程序，估计打赌者赢的概率. 你能从理论上计算出打赌者赢的精确概率吗？请问随着试验次数的增加，这些概率收敛吗？ 4. 根据表1.14的数据，完成下列数据拟合问题： (1) 如果用指数增长模型0()0()e r t t x t x -=模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MATLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算指数增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 和r ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 和r . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. (2) 通过变量替换，可以将属于非线性模型的指数增长模型转化成线性模型，并用MA TLAB 函数polyfit 进行计算，请说明转化成线性模型的详细过程，然后写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示拟合效果图. (3) 请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？ (4) 如果用阻滞增长模型00 () 00()()e r t t Nx x t x N x --= +-模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MA TLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算阻滞增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r 和N ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 、r 和N ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 、r 和N . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890数学建模讲义第一章
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