函数与方程、指数函数、对数运算提升
1．已知函数()???≤>=.0,
2,0,log 3x x x x f x 则 ）
A
B ．4
C ．2 D
2
）
（A ）),3(+∞ （B ）)3,0( （C ）(0,2) （D ）(2,)+∞
3．已知函数)3(log 1),1(1
2)(2f x x f x x f x ，则???>-≤==（ ）
A ．3 B
C ．1
D ．2
4．已知y x ,为正实数,则（ ）
A.lg lg lg lg 222x y x y +=+
B.lg()lg lg 222x y x y
+=? C.lg lg lg lg 2
22x y
x y ?=+ D.lg()lg lg 222xy
x y =? 5．下列函数中，与函数y x =相同的函数是（ ）.
A
B 、lg10x y =
C
D 、2log 2x
y =
6 ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知函数???>+-≤+=0
,120,1)(2x x x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2
=-x axf x f 恰有5个不同的实数解，则a 的取值范
围是 （ ）
A ．()0,1
B ．()0,2
C ．()1,2
D ．()0,3
8 ）
A.[0,)+∞
B.[0,2]
C.[0,2)
D.(0,2)
9．已知函数||()||x f x e x =+，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(,)01 B ．(,)1+∞ C ．(,)-10 D ．(,)-∞-1
10．
若存在12,x x ，当12046x x ≤<≤≤时，12()()f x f x =，则12()x f x ?的取值范围是（ ）
A ．[0,1)
B ．[1,4]
C ．[1,6]
D ．[0,1][3,8]
当x
a =时，()f x 取得最小值
b ，则在直角坐标系下函数
12．已知函数
若函数()()2g x f x m =+有三个零点，则实数m 的
取值范围
是 .
13，若关于x 的方程4个不同的实数根，则m 的取值范围是________________．
14．|1|21(0,1)x y a a a -=?->≠过定点____．
15的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是 .
16= ．
函数与方程、指数函数、对数运算提升
17．对于函数1()93x x f x m +=-?，若存在实数0x 使得00()()f x f x -=-成立，则实数m 的取值范围是 ．
18．已知实数1a ≠，函数4,0
()2,0.
x a x x f x x -?≥?=?
19．已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，则实数k 的取值范围为___________．
20．如果函数f(x)＝a x (a x －3a 2－1)(a>0且a≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，那么实数a 的取值范围是______．
21，设0a b >≥，若()(b)f a f =，则()bf a 的取值范围是____．
22
上的奇函数f(x)，已知当x ∈[－1,0]时， f(x)(a ∈R)． (1)求f(x)在[0,1]上的最大值；(2)
若f(x)是[0,1]上的增函数，求实数a 的取值范围．
23．已知函数f(x)＝3x (1)
若f(x)＝2，求x 的值；(2)判断x>0时，f(x)的单调性；(3)若3t f(2t)＋mf(t)≥0对于t m 的取值范围．
参考答案
1．A. 【解析】
试题分析：注意叠套函数要先运算里面的部分，后运算外面的部分，
故选A.
考点：指数函数，对数函数的性质，分段函数求值. 2．B 【解析】
试题分析：可由原函数解出x
3，再由指数函数的值域，解不等式即可得到所求值域．
考点：函数的值域．
3．B 【解析】
考点：分段函数求值
4．D. 【解析】
试题分析：根据指数的运算性质：
x y x y
a a a +?=，以及对数的运算性质：
lg lg lg()x y xy +=，可知lg lg lg lg lg()2
222x
y x y xy +?==，∴D 正确.
考点：指对数的运算性质
5．B. 【解析】
试题分析：函数y x =的定义域为R ，而选项A 中函数中0x ≠，选项C 中函数中0x ≥，选项D 中的函数0x >，又lg10lg10x y x x ===，故选B.
考点：函数的三要素，相等函数的判定（一般只需判定两者的定义域与对应关系）. 6．B 【解析】
,故选B ． 考点：幂函数性质；函数的零点 7．A 【解析】
试题分析：设()t f x ＝，则方程为20t at -=，解得0t =或t a =，即()0f x =或
()f x a =．如图，作出函数()f x 的图象，由函数图象，可知()0f x =的解有两个，故要
使方程0)()(2
=-x axf x f 恰有5个不同的解，则方程()f x a =的解必有三个，此时
01a <<．所以a 的取值范围是()0,1．
考点：1．函数与方程；2．零点． 8．C 【解析】
试题分析：一方面420x
-≥，另一方面因为20x
>，所以0424x
≤-<，所以
C. 考点：1.函数的值域；2.指数函数的图像与性质.
9．B 【解析】
试题分析：因为关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，即
有两个交点．如图可得1k >．
考点：1．含绝对值的函数的图象．2．函数与方程问题．3．数形结合的数学思想． 10．B 【解析】
试题分析：当1204x x <≤≤≤6时，因为12()()f x f x =，由12()()1f x f x ==或12()()2f x f x ==，
得到1x 的取值范围是[1,3]
即12()x f x ?的范围是[1,4]．
考点：1．分段函数；2．分类讨论思想．
11．B 【解析】
试题分析：
当且仅
2x =取等号，所以2a =，1b =，所
当-1,1）,并且1x ≥-时单调递增，所以应选A ．
考点：基本不等式及函数的图像． 12
【解析】
试题分析：函数()()2g x f x m =+有三个零点，所以方程()20f x m +=有三个不同的根，所以()2m f x -=有三个不同的根，，即函数2y m =-与函数()y f x =有3个不同的交点，作出函数()y f x =的图像，结合图像可知考点：1.函数与方程的转化；2.数形结合法；3.分段函数图像 13
【解析】
试题分析：函数()f x 如图所示
，则()f t m =，因为方程
有两个不同的交点，由图像可知m 取值案为
)
考点：1.分段函数；2.函数的零点. 14．（1，1） 【解析】
试题分析：由题根据指数函数性质令|x-1|=0可得x=1,此时y=1，所以函数经过定点（1,1）． 考点：指数函数的性质 15．0 【解析】
试题分析：方法一：由于函数图像关于y 轴对称，那么函数为偶函数，那么，只有当0a =时，等式恒成立，故填0. ，由函数2x y =得到，首先将函数
2x y =关于y 轴进行翻折，可以得到函数，此时函数关于y 轴对称，再将图象向左
平移a 个单位得到此时函数关于x a =-对称，根据题目条件可知对称轴为y 轴，
故0x a =-=，故填0. 考点：函数的基本性质. 16．16 【解析】
试题分析：
=
考点：对数的运算法则,换底公式.
17
【解析】
试题分析：由于函数()139+?-=x x m x f ，存在事数0x ，使()()00x f x f -=-，因此
(
)
1
1
0000
3
93
9
++--?--=?-x x x x m m ，整理
令0033x x t -+=
；函数t y =与函数
1，即
考点：（1）奇函数的应用；（2）函数的单调性． 18 【解析】
试题分析：当1a >
时，10,10a a -<
-> ，方程(1)(1)
f a f a -=-化为：
()1124a a a ---= ，无实根；
当1a <时，10,10a a ->-< ，方程(1)(1)f a f a -=-化为：()
112
4a a a ---=，解得：
. 考点：分段函数. 19
【解析】
试题分析：令()3,0x
t t =>,则原方程可变形为()2
2310t t k -+-=.即方程
()22310
t t k -+-=在()
0,+∞上有两个实根.所以
考点：1指数函数的值域;2一元二次方程的根. 20．1)
【解析】函数y＝a x(a x－3a2－1)(a>0且a≠1)可以看做是关于a x的二次函数．
若a>1，则y＝a x是增函数，原函数在区间[0，＋∞)
，
矛盾；
若0 时，y＝t2－(3a2＋1)t在t∈(0,1] ， 所以a2 所以实数a的取值范围是 1)． 21 【解析】 ，且,() b f a的值依次增大，均为正值，所 1 考点：分段函数的图象. 22． 【解析】解：(1)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]， f(－x) 4x－a·2x， ∵f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]． 令t＝2x，t∈[1,2]， ∴g(t)＝a·t－t2＝－(t2 ，即a≤2时，g(t)max＝g(1)＝a－1； 当，即2 ，即a≥4时，g(t)max＝g(2)＝2a－4. 综上，当a≤2时，f(x)的最大值为a－1； 当2 当a≥4时，f(x)的最大值为2a－4. (2)∵函数f(x)在[0,1]上是增函数， ∴f′(x)＝aln2×2x－ln4×4x＝2x ln2·(a－2×2x)≥0，∴a－2×2x≥0恒成立，∴a≥2×2x.∵2x∈[1,2]，∴a≥4. 故a的取值范围是[4，＋∞)． 23．（1）log3(1 （2）f(x)＝3x(0，＋∞)上单调递增 （3）[－4，＋∞) 【解析】解：(1)当x≤0时，f(x)＝3x－3x＝0， ∴f(x)＝2无解． 当x>0时，f(x)＝3x3x 2. ∴(3x)2－2·3x－1＝0，解得3x＝ ∵3x>0，∴3x＝1 ∴x＝log3(1． (2)3x在(0，＋∞)上单调递增， y(0，＋∞)上单调递减， ∴f(x)＝3x(0，＋∞)上单调递增． (3)∵t f(t)＝3t ∴3t f(2t)＋mf(t)≥0化为 ， 即m≥0，即m≥－32t－1. 令g(t)＝－32t－1，则g(t)g(x)max＝－4. ∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)． .. 2016-2017 学年度高一必修一指数函数与幂函数练考卷考试范围：基本不等式；考试时间：100 分钟；命题人：聂老师 题号一二三总分 得分 第 I 卷（选择题） 评卷人得分 一、选择题 1．化简的结果为（） A． 5B．C．﹣D．﹣5 【答案】 B 【解析】=== 故选 B 2 ．函数 f x a x 0 a 1 在区间 [0 ， 2] 上的最大值比最小值大3 ，则a的值为 （） A. 1 7 2 B. C. D. 4 3 2 2 2 2 【答案】 C 【解析】试题分析：结合指数函数的性质，当0 a 1 ，函数为减函数.则当 x 0 时， o 1 ，当 x 2 时，函数有最小值 2 2 3 函数有最大值 f (0) a f (2) a ，则1 a ， 4 解得 a 2 （负舍） . 2 考点：指数函数的性质. 3．指数函数 f ( x) (a 1)x在R上是增函数，则 a 的取值范围是（） A．a 1 B． a 2 C． 0 a 1 D． 1 a 2 【答案】 B 【解析】 试题分析：对于指数函数 x 1 时，函数在R上是增函数，当 0 a 1时，y a ，当 a 函数在 R上为减函数 . 由题意可知：a 1 1 即， a 2 . 考点：指数函数的性质 . 4．若函数f (x) (2m 3)x m23是幂函数，则m的值为（）A．1 B．0 C．1 D．2 【答案】 A Word 完美格式 【解析】 试题分析：由题意，得 2m 3 1 m 1 ，解得 ． 考点：幂函数的解析式． 5．若幂函数 y (m 2 3m 3) x m 2 的图象不过原点，则（ ） A ． 1 m 2 B ． m 1 m 2 或 C ． m 2 D ． m 1 【答案】 B 【解析】 试题分析： y (m 2 3m 3)x m 2 是幂函数，则必有 m 2 3m 3 1，得 m 1 1, m 2 2 ， 又函数图象不过原点，可知其指数 m 2 0 ， m 1 1, m 2 2 均满足满足，故正确选项 为 B. 考点：幂函数的概念 . 【思路点睛】首先清楚幂函数的形式 f (x) x a , a 为常数，说明幂的系数必须为 1，即 可得含有 m 的方程；其次幂函数的图象不过原点，说明指数为负数或者零，即可得含 有 m 的不等式 . 在此要注意， 00 是不存在的， 也就是说指数为零的幂函数图象不过原点 . 6．设 2, 1, 1 ,1,2,3 ，则使幂函数 y x a 为奇函数且在 (0, ) 上单调递增的 a 2 值的个数为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【答案】 C 【解析】 试题分析：因为 a y x 是奇函数，所以 a 应该为奇数，又在 (0, ) 是单调递增的，所 以 a 0 则只能 1,3 ．考点：幂函数的性质 . 7．已知函数 ，若 ，则实数 （ ） A ． B ． C ． 2 D ． 9 【答案】 C 【解析】因为 ， 所以 ． 《一元二次方程》能力提高训练题 1、已知x 2+ 21x =3,求1242++x x x = 2、如果m 、n 是两个不相等于的实数，且满足122=-m m ,122=-n n ,那么代数式=+-+199944222n n m 3、已知a 、b 、c 是ABC ?三条边的长，那么方程()042=+++c x b a cx 的根的情况是 4、方程0132=--x x 与032=+-x x 的所有实数根的和是 5、将代数式2x 2+3x+5配方得 6、某工厂计划在长24m ，宽20m 的空地中间划出一块322m 的长方形建一住房，并且使剩余的地为正方形，则这个宽度是 m 7、下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（ ） A 1562-+x x B 3732++y y C 2242y xy x -- D 22542y xy x +- 8、已知0534222=+++ +-+c b a b a ,求a,b,c 的值。 9、解下列方程：(x+1)2+9=0 10、已知()3123132±=± b a ，求整数a,b 的值。 11、挖土机原计划在若干小时挖土220m 3，最初3小时按计划进行，以后每小时多挖10m 3， 因此提前2小时超额20m 3完成任务，问原计划每小时应挖土多少m 3 ？ 12、设ａ、ｂ、ｃ是ABC ?的三边，关于ｘ的一元二次方程0222 =-+-a c x b x 有两个相等的是数根，方程a b cx 223=+得根为０ ⑴求证：ABC ?是等边三角形 ⑵若ａ、ｂ为方程 032=-+m mx x 的两根，求ｍ的值 13、已知方程()()221k x x =--,其中k 为实数且0≠k ,不解方程证明 （1） 这个方程有两个不相等的实数根； 这个方程的一个根大于1，另一个根小于是。 高一数学函数与方程知识点整理在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。数学分为两部分，一部分是几何，另一部分是代数。精品小编准备了高一语文函数与方程知识点，希望你喜欢。 1.设f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数，且f(-12)f(12)0，则方程f(x)=0在[-1,1]内() A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根 解析：由f -12f 120得f(x)在-12，12内有零点，又f(x)在[-1,1]上为增函数， f(x)在[-1,1]上只有一个零点，即方程f(x)=0在[-1,1]上有唯一的实根. 答案：C 2.(2019长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表： x123456 f(x)136.1315.552-3.9210.88-52.488-232.064 则函数f(x)存在零点的区间有 A.区间[1,2]和[2,3] B.区间[2,3]和[3,4] C.区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D.区间[3,4]、[4,5]和[5,6] 解析：∵f(2)与f(3)，f(3)与f(4)，f(4)与f(5)异号， f(x)在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]上都存在零点. 答案：C 3.若a1，设函数f(x)=ax+x-4的零点为m，g(x)=logax+x-4的零点为n，则1m+1n的取值范围是 A.(3.5，+) B.(1，+) C.(4，+) D.(4.5，+) 解析：令ax+x-4=0得ax=-x+4，令logax+x-4=0得logax=-x+4，在同一坐标系中画出函数y=ax，y=logax，y=-x+4的图象，结合图形可知，n+m为直线y=x与y=-x+4的交点的横坐标的2倍，由y=xy=-x+4，解得x=2，所以n+m=4，因为 (n+m)1n+1m=1+1+mn+nm4，又nm，故(n+m)1n+1m4，则 1n+1m1. 答案：B 4.(2019昌平模拟)已知函数f(x)=ln x，则函数g(x)=f(x)-f(x) 的零点所在的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析：函数f(x)的导数为f(x)=1x，所以g(x)=f(x)-f(x)=ln x-1x.因为g(1)=ln 1-1=-10，g(2)=ln 2-120，所以函数g(x)=f(x)-f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B. 答案：B 二元一次方程组能力提升 一、解答题（共5小题；共65分） 1. 学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买台平板电 脑比购买台学习机多元，购买台平板电脑和台学习机共需元． （1）求购买台平板电脑和台学习机各需多少元? （2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共，要求购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案?哪种方案最省钱? 2. 已知：用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载 满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： （1）辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨? （2）请你帮该物流公司设计租车方案． （3）若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 3. 若方程组的解满足，求满足条件的正整数的值． 4. 已知关于，的方程组的解满足． （1）求的值； （2）若． 5. 对于三个数，，，表示，，这三个数的平均数，表示，， 这三个数中最小的数，如：，； ，． 解决下列问题： （1）填空：若，则的取值范围是； （2）①若，那么； ②根据①，你发现结论 " 若，那么 "（填，，大小 关系）； ③运用②，填空：若 ，则 ． 6. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为， 因为，所以，称方程为不等式组的关联方程． （1）在方程①，②，③中，不等式组 的关联方程是；（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是；（写出一个即可） （3）若方程，都是关于的不等式组 的关联方程，求的取值范围． 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质: a y x =有下列性质： （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 元二次方程能力提高题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 一元二次方程 能力提高题 1、下列关于x 的方程：①0232=--x x ；②02=++c bx ax ；③0132=+ x x ；④332x x x =+中一元二次方程的个数（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值为（ ） A 、6 B 、8 C 、6- D 、8- 3、定义：如果一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 满足0=++c b a ，那么我们称这个方程为“凤凰”方程。已知02=++c bx ax ()0≠a 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A 、a=c B 、a=b C 、b=c D 、a=b=c 4、关于x 的一元二次方程()022=-++m mx x 的根的情况是（ ） A 、有两个不相等的实数根 B 、有两个相等的实数根 C 、没有实数根 D 、无法确定 5、若关于x 的一元二次方程()()()02=-+-+-a c x c b x b a 的两根相等，则这个根为 。 6、已知21,x x 是一元二次方程0132=++x x 的两实根，则=++20823 1x x 7、利用配方法求： （1）262+-x x 的最小值； （2）1532++x x 的最小值； （3）242+--x x 的最大值； （4）1232++-x x 的最大值。 总结：若经配方得：()n m x a c bx ax ++=++22形式后， （1）当0>a 时，()2m x a + ，()n m x a ++2 有最 值 ； 函数与方程 一、函数的零点概念 教材中具体的定义：对于函数)(x f y =,我们把使 0)(=x f 的实数x 叫做函数0)(=x f 的零点。 可以这样理解：① 函数)(x f y =的零点就是 方程0)(=x f 的实数根 ② 函数)(x f y =的零点就是 函数)(x f y =的图象与X 轴交点的横坐标 二、用二分法求方程的近似解 二分法 对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 举例理解： 二次函数f （x ）=x 2－2x －3的图象（如下图），函数f （x ）=x 2－2x －3在区间［－2，1］上有零点. 计算f （－2）×f （1） （＞ 还是 ＜ ） 0 在区间［2，4］的端点上，即f （2）·f （4）＜0，函数f （x ）=x 2－2x －3在（2，4）内有零点。 例1 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ） 例2 下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) 三、零点分类：不变号零点和变号零点 不变号零点 )(x f y ==函数2)(x x f =在下列区间是否存在零点？（ ） （A ）（-3，-1） （B ）（-1，2） （C ）（2，3） （D ）（3，4） 变号零点 函数零点的存在性定理(仅适合变号零点): 应用：仅能判断零点的存在性，或者判断零点所在的区间命题方法判断零点的个数及所在的区间 典例(1)已知函数f(x)＝6 x－log2 x，在下列区 间中，包含f(x)零点的区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞)(2)函数f(x)＝2x－ 2 x－ a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( ) A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 【解题法总结】函数零点问题的解题方法 (1)判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 ①解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上． ②利用零点存在性定理进行判断． ③画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． (2)判断函数零点个数的方法 一元二次方程培优专题复习 只含有一个未知数．．．．．．．．，并且② 未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③ 整式方程．．．．就是一元二次方程。 )0(02 ≠=++a c bx “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A 、()()12132 +=+x x B 、 02112 =-+x x C 、02 =++c bx ax D 、 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程322 2 +=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 ★1、方程782 =x 的一次项系数是 ，常数项是 。 ★2、若方程()021 =--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值： ；⑵写出关于x 的一元一次方程： 。 ★★3、若方程()112 =?+ -x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 例1、已知322 -+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2 =-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 第3章一元一次方程能力提升训练 一．选择题 1．已知代数式8x﹣7与3﹣2x的值互为相反数，那么x的值等于（） A．B．1C．﹣D．﹣1 2．若x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣2＝b的解，则3b﹣6a+2的值是（）A．﹣8B．﹣4C．8D．4 3．下列等式变形中正确的是（） A．若x＝y，则＝B．若a＝b，则a﹣3＝3﹣b C．若2πr1＝2πr2，则r1＝r2D．若＝，则a＝c 4．“某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个，问苹果有多少个？”若设共有x个苹果，则列出的方程是（） A．3x+1＝4x﹣2B．3x﹣1＝4x+2C．D． 5．设x、y、c是有理数，则下列判断错误的是（） A．若x＝y，则x+2c＝y+2c B．若x＝y，则a﹣cx＝a﹣cy C．若x＝y，则D．若，则3x＝2y 6．已知a为整数，关于x的一元一次方程的解也为整数，则所有满足条件的数a的和为（） A．0B．24C．36D．48 7．大丰新华书店推出售书优惠方案，如果李明同学一次性购书付款162元，那么李明同学所购书的原价可能是（） ①一次性购书不超过100元，不享受优惠 ②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折 ③一次性购书超过200元，一律打八折 A．180元B．202.5元 C．180元或202.5元D．180元或200元 8．定义运算“*”为A*B＝AB+2A，若（3*x）+（x*3）＝14，则x＝（） A．﹣1B．1C．3D．﹣3 9．若关于x的方程（k﹣4）x＝3有正整数解，则自然数k的值是（） A．1或3B．5C．5或7D．3或7 10．如图，跑道由两个半圆部分AB，CD和两条直跑道AD，BC组成，两个半圆跑道的长都是115m，两条直跑道的长都是85m．小彬站在A处，小强站在B处，两人同时逆时针方向跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6m．当小强第一次追上小彬时，他们的位置在（） A．半圆跑道AB上B．直跑道BC上 C．半圆跑道CD上D．直跑道AD上 二．填空题 11．一元一次方程﹣y＝﹣3的解为． 12．若代数式（a、b为常数）的值与字母x、y的取值无关，则方程3ax+b＝0的解为． 幂函数与指数函数得区别 1、指数函数：自变量x在指数得位置上，y=a^x(a>0,a不等于1) 性质比较单一,当a>1时,函数就就是递增函数,且y>0； 当0<ａ<1时,函数就就是递减函数,且y>0、 2、幂函数:自变量ｘ在底数得位置上,y=x^a(a不等于1)、 a不等于1,但可正可负,取不同得值，图像及性质就就是不一样得。 高中数学里面,主要要掌握a=-１、２、3、1/2时得图像即可。其中当a=2时,函数就就是过原点得二次函数。其她a值得图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像得走向即可。 3、ｙ＝８＾(-0、7)就就是一个具体数值，并不就就是函数,如果要与指数函数或者幂函数联系起来也就就是可以得。首先您可以将其瞧成:指数函数y=8^x(a=８),当x＝-0、7时,y得值;或者将其瞧成：幂函数y=x^（-0、７)(a=－0、7），当x=8时,y得值。 ? 幂函数得性质: 根据图象，幂函数性质归纳如下： （１)所有得幂函数在（0，+∞)都有定义,并且图象都过点（1，1); （2)当ａ＞0时，幂函数得图象通过原点，并且在区间[0,+ ∞)上就就是增函数、 特别地,当a>1时,幂函数得图象下凸；当0＜ａ＜1时,幂函数得图象上凸；(3)当ａ<0时，幂函数得图象在区间(0,＋∞)上就就是减函数、在第一象限内, 当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋 于+∞时,图象在轴x上方无限地逼近轴ｘ正半轴。 指出：此时ｙ=ｘ０＝1;定义域为(－∞,０）∪（0,+∞),特别强调, 当x为任何非零实数时，函数得值均为1,图像就就是从点(0,1)出发,平行于ｘ轴得两条射线,但点(0，1)要除外。 思考讨论: (１)在幂函数y=xａ中,当a就就是正偶数时,这一类函数有哪种重要性质? （2)在幂函数ｙ=xa中,当a就就是正奇数时,这一类函数有哪种重要性质? 讲评:(1)在幂函数y=xa中,当a就就是正偶数时，函数都就就是偶函数,在第一象限内就就是增函数。 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有 1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 七年级数学一元一次方程 能力提高测试题 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 七年级数学《一元一次方程》能力提高测试题 认真填一填： 1、方程052=+x 的解是=x 。 如果1=x 是方程21=+ax 的解，则a = 。 2、由13-x 与x 2互为相反数，可列方程 ，它的解是=x 。 3、飞机在A 、B 两成之间飞行，顺风速度是每小时a 千米，逆风速度是每小时b 千米，风的速度每小时x 千米，则=-x a 。 4、方程x ＋2＝3的解也是方程ax －3＝5的解时，a ＝ ； 5、某地区人口数为m ，原统计患碘缺乏症的人占15%，最近发现又有a 人患此症，那么现在这个地区患此症的百分比是 ； 6、方程｜x －1|＝1的解是 ； 7、若3x －2 和 4－5x 互为相反数，则x ＝ ； 若2a 与1－a 互为相反数，则a=_______________。 8、|2x －3y |＋（y －2）2 ＝0 成立时，x 2＋y 2 ＝ 9、x ＝ 时，代数式 532-x 与代数式332-x 的差为0 10、x=_____时，代数式2（x －1）－3的值等于－９。 11、x ＝3是方程4x －3（a －x ）＝6x －7（a －x ）的解,那么a ＝ ； 12、x ＝9 是方程b x =-23 1的解，那么=b ，当=b 1时，方程的解 ； 13、若是2ab 2c 3x －1与－5ab 2c 6x ＋3是同类项，则x ＝ ； 若单项式3a 3b 2x 与3 1a 3b 4x －2是同类项，则x= ______________。 14、x ＝4 3是方程|k |（x ＋2）＝3x 的解，那么k ＝ .. 15、如果方程（m －1）x |m| + 2 =0是表示关于x 的一元一次方程，那么m 的取值范围是 。 16、方程5x ―2=4（x ―1）变形为5x ―2=4x —4的依据是________________。 17、一种药物涨价25%的价格是50元，那么涨价前的价格x 满足的方程是 ____________。 18、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用小时，已知步行速度为每小时8千米，公 交车的速度为每小时40千米，设甲乙两地相距x 千米，则列方程为 ________________。 19、本人三年前存了一份3000元的教育储蓄，今年到期时的本利和为3243元，请你帮我算一算这种储蓄的年利率。若年利率为x%，则可列方程 __________________________。（年存储利息=本金×年利率×年数） 20、有含盐20%的盐水5千克，要配制成含盐8%的盐水，需加水______________千克。 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1 ．根式 （ 1 ）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1且 n N 当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次 n a 零的 n 次方根是零 方根是一个负数 当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反 n a ( a 0) 负数没有偶次方根 数 （ 2 ）．两个重要公式 a n 为奇数 ① n a n a( a 0) ； | a | 0) n 为偶数 a(a ② (n a ) n a （注意 a 必须使 n a 有意义）。 2 ．有理数指数幂 （ 1 ）幂的有关概念 m n a m (a ①正数的正分数指数幂 : a n 0, m 、 n N ,且 n 1) ; m 1 1 ②正数的负分数指数幂 : a n 0, m 、 n N , 且 n 1) m (a a n n a m ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 . 注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （ 2 ）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q); ③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>10 高中数学必修 函数与方程 1.函数零点的概念 对于函数y=f(x),x∈D,我们把使f(x)=0的实数x叫作函数y=f(x),x∈D的零点. 注意：函数的零点是实数,而不是点;并不是所有的函数都有零点,若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内. 2.函数的零点与方程根的联系 由函数零点的概念可知,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点. 3.二次函数的零点 对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),其零点个数可根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式来确定,具体情形如下表: Δ>0Δ=0Δ<0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有两个不相等的实数 根 有两个相等的实数根无实数根 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点个数有两个零点有一个零点无零点 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 a>0 a<0 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与轴的 交点个数 有两个交点有一个交点无交点 4.零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 注意：在上述定理的条件下,只能判断出零点存在,不能确定零点的个数. 【辨析比较】f (a )·f (b )<0与函数f (x )存在零点的关系 ①.若函数y =f (x )在闭区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a )·f (b )<0,则函数y =f (x )一定有零点. 图1 ②.由函数y =f (x )在闭区间[a ,b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0,如图1.所以f (a )·f (b )<0是y =f (x )在闭区间[a ,b ]上有零点的充分不必要条件.事实上,只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时,函数值才变号,即相邻两个零点之间的函数值同号. 注意：若函数f (x )在[a ,b ]上单调,且f (x )的图象是连续不断的一条曲线,则f (a )·f (b )<0?函数f (x )在[a ,b ]上只有一个零点. 5.二分法的概念 对于在区间[a ,b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y =f (x ),通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 6.用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度ε,用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下: 第一步:确定区间[a ,b ],验证f (a )·f (b )<0,给定精确度ε. 第二步:求区间(a ,b )的中点x 1. 第三步:计算f (x 1). (1)若f (x 1)=0,则x 1就是函数的零点; (2)若f (a )·f (x 1)<0,则令b =x 1(此时零点x 0∈(a ,x 1)); (3)若f (x 1)·f (b )<0,则令a =x 1(此时零点x 0∈(x 1,b )). 第四步:判断是否达到精确度ε,即若|a -b |<ε,则得到零点近似值a (或b ),否则重复第二、三、四步. 7.常见的几种函数模型 (1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)． (2)反比例函数模型：y ＝k x ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)． (3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)． 第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1.已知2 (3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A.m ≠3 B.m ≥3 C.m ≥-2 D. m ≥-2且m ≠3 2. 已知关于x 的方程2 1 (1)(2)10m m x m x +++--=，问： （1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？ 专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值 3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2 -1=0的常数项为0，求m 的值． 4.若一元二次方程2 (24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 . 专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 5.已知关于x 的方程x 2 +bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.2 6.若一元二次方程ax 2 +bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 . 7.已知实数a 是一元二次方程x 2 －2013x+1=0的解，求代数式22 1 20122013 a a a +--的值. 知识要点： 1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根. 温馨提示： 1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件. 2.一元二次方程的根是两个而不再是一个. 方法技巧： 1.ax k +bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论. 2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领 函数与方程 一、选择题 1、设2 3)(x x f x -=，则在下列区间中，使函数f （x ）有零点的区间是（ ） A. [0,1] B.[1,2] C. [-2,-1] D. [-1,0] 2、已知函数2)1()(22-+-+=a x a x x f 的一个零点比1小，另一个零点比1大，则（ ） A ．-1 人教版七年级数学上册能力提高经典精品练习题 七年级有理数 一、境空题（每空2分，共38分） 1、31-的倒数是____；3 21的相反数是____. 2、比–3小9的数是____；最小的正整数是____. 3、在数轴上，点A 所表示的数为2，那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是 4、两个有理数的和为5，其中一个加数是–7，那么另一个加数是____. 5、某旅游景点11月5日的最低气温为ο2-，最高气温为8℃，那么该景点这天的温差是____.οC 6、计算：.______)1()1(101100=-+- 7、平方得4 12的数是____；立方得–64的数是____. 8、+2与2-是一对相反数，请赋予它实际的意义：___________________。 9、绝对值大于1而小于4的整数有____________，其和为_________。 10、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则 3 (a + b) 3-cd =__________。 11、若0|2|)1(2=++-b a ，则b a +=_________。 12、数轴上表示数5-和表示14-的两点之间的距离是__________。 13、在数5-、 1、 3-、 5、 2-中任取三个数相乘，其中最大的积是___________，最小的积是____________。 14、若m ，n 互为相反数，则│m-1+n │=_________． 二、选择题（每小题3分，共21分） 15、有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示： 则（ ） 0-11a b A ．a + b ＜0 B ．a + b ＞0; C ．a －b = 0 D ．a －b ＞0 16、下列各式中正确的是（ ） A ．22)(a a -= B ．33)(a a -=; C ．|| 22a a -=- D ．|| 33a a = 17、如果0a b +>，且0ab <，那么（ ） Ａ．0,0a b >> ;Ｂ．0,0a b << ;Ｃ．a 、b 异号;D. a 、b 异号且负数和绝对值较小 18、下列代数式中，值一定是正数的是( ) A ．x 2 B.|－x+1| C.(－x)2+2 D.－x 2+1 19、算式（-34 3）×4可以化为（） （A ）-3×4-43×4 （B ）-3×4+3 （C ）-3×4+4 3×4 （D ）-3×3-3 20、小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二次低12分，第四次又比第三次高10分．那么小明第四次测验的成绩是…………（） A 、90分 B 、75分 C 、91分 D 、81分 21、一家商店一月份把某种商品按进货价提高60％出售，到三月份再声称以8折（80％）大拍卖，那么该商品三月份的价格比进货价………………………………………（） (一)指数函数的定义 一般地，函数y =a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。 将a 如数轴所示分为：a <0,a =0,01五部分进行讨论： (1)如果a <0, 比如y =(-4)x ，这时 对于等，在实数范围内函数值不 存在； (2)如果a =0，、 (3)(3)如果a =1，y =1x =1，是个常值函数，没有研究的必要； (4)4)如果01即a >0且a ≠1，x 可以是任意实数。 (四)指数函数性质的简单应用 例 2： 比较下列各题中两个值的大小 : (l)1.72.5,1.73; (2)0.8-01,0.8-02 ; (3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1 解 :(1) 考察指数函数 y =1.7x , 由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y =1.7x 在R 上是增函数 因为 2.5< 3, 所以 1.72.5<1.73 (2) 考察指数函数 y =0.8x , 由于底数0<0.8(完整版)幂函数与指数函数练习题教师版.doc
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