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全国高中数学联赛 代数部分

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全国高中数学联赛 (代数部分)

1. (1988年全国高中数学联赛加试第三题) 在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线?

?,,,,2

1

n l l

l 的直线族,

它满足条件:

⑴ 点(1,1)∈n

l ,),3,2,1(?=n ;

⑵ n

n

n b a k -=+1

,其中1

+n k 是1

+n l 的斜率,n a 和n b 分别是n

l 在x 轴和y 轴

上的截距,),3,2,1(?=n ; ⑶ 01

≥+n n

k k ,),3,2,1(?=n .

并证明你的结论.

2. (1989年全国高中数学联赛加试第二题) 已知)2;,,2,1(≥?=∈n n i R x i

满足,0,11

1

==∑∑==n

i i n i i x x

求证:n

i

x n

i i 212

11

-

=.

3. (1998年全国高中数学联赛加试第二题)

设n a a a ,,,21?,n b b b ,,,21?[]2,1∈ 且∑∑===n

i i n

i i b a 1

2

1

2

求证:∑

==≤

n

i i n

i i

i

a b a 1

2

1

3

10

17 并问 等号成立的充要条件.

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4. (1997年全国高中数学联赛加试第二题)

试问:当且仅当实数)2(,,,10≥?n x x x n 满足什么条件时. 存在实数n y y y ,,,10?使得2222120n z z z z +?++=成立. 其中k k k iy x z +=,i 为虚数单位,).,,2,1(n k ?= 证明你的结论.

5. (1999年全国高中数学联赛加试第二题) 给定实数c b a 、、.已知复数3

2

1

z z z 、、满足:

1321===z z z

11

33

22

1=+

+

z z z z z z

求321cz bz az ++的值

6. (2002年全国高中数学联赛加试第二题) 设),,2,1(0n i x

i

?=≥,且12

11

2

=+∑

∑≤<≤=n

j k j k n

k i x x j

k x ,求∑=n

k i x 1

的最大值与

最小值

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7. (2002年全国高中数学联赛加试第二题)

实数a 、b 、c 和正数λ,使得f ( x ) = c bx ax x x f +++=23)(有三个实数根321x x x 、、,且满足 (1)λ=12-x x ; (2))(2

1213

x x x

+>

.

求3

3

9272λ

ab

c a

-+的最大值.

8. (2004年全国高中数学联赛加试第二题)

在平面直角坐标系xOy 中, y 轴正半轴上的点列{n A }与曲线

)0(2≥=

x x y 上

的点列{n B }满足n

OB OA n n

1=

=,直线n n B A 在x 轴上的截距为n a ,点n

B 的横坐标 为n b , +

∈N

n .

证明: (1) n

a >

1+n a > 4 ,+

∈N

n .

(2) 存在+∈N n 0 ,使得对任意的0n n > 都有

2004.

-n b b b b b b b b n

1n 1

-n n 2

31

2<++

?+++

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设正数z y x c b a 、、、、、满足a bz cy =+,b cx az =+,c ay bx =+ 求函数z

z

y

y

x

x

z y x f ++

++

+=

111),,(2

2

2

的最小值.

10. (2006年全国高中数学联赛加试第二题) 已知无穷数列{n

a }满足:

x a =0 ,y a =1

),2,1(11

11?=++=

--+n a a a a a n n n n n

(1) 对于怎样的实数y 、x ,总存在+∈N n 0 使得当0n n ≥

时,n a 恒为常数?

(2) 求数列{n

a }的通项公式.

11. (2006年全国高中数学联赛加试第三题) 解方程组:

2=-+-w z y x 62

2

2

2

=-+-w z y x 203

3

3

3

=-+-w z y x 664

4

4

4

=-+-w z y

x

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设).2008,,2,1(0?=>k a

证明:当且仅当12008

1

>∑=k k a 时,存在数列{n

x }满足以下条件

(1)),2,1(010?=<<=

+n x x x n n

(2)n n x ∞

→lim 存在 (3)∑∑=++=+--=-2007

120081

1k k n k k k n k n n x a x a x x ),2,1(?=n

13. (2009年全国高中数学联赛加试第二题) 求证: 2

1ln )1

(1-12

-+<∑

=n k k n

k ,?=,2,1n

14. (2010年全国高中数学联赛加试第三题)

给定整数)2(>n n ,设正实数n a a a ,,,21?满足).,,2,1(1n k a k

?=≤

记).,,2,1(21n k k

a a a A k

k ?=+?++=

求证:.2

11

1

-<-∑∑==n A a n

k n k k k

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