全国高中数学联赛代数部分
全国高中数学联赛 (代数部分)
1. (1988年全国高中数学联赛加试第三题) 在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线?
?,,,,2
1
n l l
l 的直线族,
它满足条件:
⑴ 点(1,1)∈n
l ,),3,2,1(?=n ;
⑵ n
n
n b a k -=+1
,其中1
+n k 是1
+n l 的斜率,n a 和n b 分别是n
l 在x 轴和y 轴
上的截距,),3,2,1(?=n ; ⑶ 01
≥+n n
k k ,),3,2,1(?=n .
并证明你的结论.
2. (1989年全国高中数学联赛加试第二题) 已知)2;,,2,1(≥?=∈n n i R x i
,
满足,0,11
1
==∑∑==n
i i n i i x x
求证:n
i
x n
i i 212
11
-
≤
∑
=.
3. (1998年全国高中数学联赛加试第二题)
设n a a a ,,,21?,n b b b ,,,21?[]2,1∈ 且∑∑===n
i i n
i i b a 1
2
1
2
求证:∑
∑
==≤
n
i i n
i i
i
a b a 1
2
1
3
10
17 并问 等号成立的充要条件.
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4. (1997年全国高中数学联赛加试第二题)
试问:当且仅当实数)2(,,,10≥?n x x x n 满足什么条件时. 存在实数n y y y ,,,10?使得2222120n z z z z +?++=成立. 其中k k k iy x z +=,i 为虚数单位,).,,2,1(n k ?= 证明你的结论.
5. (1999年全国高中数学联赛加试第二题) 给定实数c b a 、、.已知复数3
2
1
z z z 、、满足:
1321===z z z
11
33
22
1=+
+
z z z z z z
求321cz bz az ++的值
6. (2002年全国高中数学联赛加试第二题) 设),,2,1(0n i x
i
?=≥,且12
11
2
=+∑
∑≤<≤=n
j k j k n
k i x x j
k x ,求∑=n
k i x 1
的最大值与
最小值
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7. (2002年全国高中数学联赛加试第二题)
实数a 、b 、c 和正数λ,使得f ( x ) = c bx ax x x f +++=23)(有三个实数根321x x x 、、,且满足 (1)λ=12-x x ; (2))(2
1213
x x x
+>
.
求3
3
9272λ
ab
c a
-+的最大值.
8. (2004年全国高中数学联赛加试第二题)
在平面直角坐标系xOy 中, y 轴正半轴上的点列{n A }与曲线
)0(2≥=
x x y 上
的点列{n B }满足n
OB OA n n
1=
=,直线n n B A 在x 轴上的截距为n a ,点n
B 的横坐标 为n b , +
∈N
n .
证明: (1) n
a >
1+n a > 4 ,+
∈N
n .
(2) 存在+∈N n 0 ,使得对任意的0n n > 都有
2004.
-n b b b b b b b b n
1n 1
-n n 2
31
2<++
?+++
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设正数z y x c b a 、、、、、满足a bz cy =+,b cx az =+,c ay bx =+ 求函数z
z
y
y
x
x
z y x f ++
++
+=
111),,(2
2
2
的最小值.
10. (2006年全国高中数学联赛加试第二题) 已知无穷数列{n
a }满足:
x a =0 ,y a =1
),2,1(11
11?=++=
--+n a a a a a n n n n n
(1) 对于怎样的实数y 、x ,总存在+∈N n 0 使得当0n n ≥
时,n a 恒为常数?
(2) 求数列{n
a }的通项公式.
11. (2006年全国高中数学联赛加试第三题) 解方程组:
2=-+-w z y x 62
2
2
2
=-+-w z y x 203
3
3
3
=-+-w z y x 664
4
4
4
=-+-w z y
x
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设).2008,,2,1(0?=>k a
证明:当且仅当12008
1
>∑=k k a 时,存在数列{n
x }满足以下条件
(1)),2,1(010?=<<=
+n x x x n n
(2)n n x ∞
→lim 存在 (3)∑∑=++=+--=-2007
120081
1k k n k k k n k n n x a x a x x ),2,1(?=n
13. (2009年全国高中数学联赛加试第二题) 求证: 2
1ln )1
(1-12
≤
-+<∑
=n k k n
k ,?=,2,1n
14. (2010年全国高中数学联赛加试第三题)
给定整数)2(>n n ,设正实数n a a a ,,,21?满足).,,2,1(1n k a k
?=≤
记).,,2,1(21n k k
a a a A k
k ?=+?++=
求证:.2
11
1
-<-∑∑==n A a n
k n k k k