DSP2012复习

1、数据信号处理的特点

与模拟系统(ASP)相比，数字系统具有如下特点：

1、精度高

2、可靠性高

3、灵活性大

4、易于大规模集成

5、时分复用

6、可获得高性能指标

7、二维与多维处理

2、时分复用：

利用DSP同时处理几个通道的信号。

某一路信号的相邻两抽样值之间存在很大的空隙时间，因而在同步器的控制下，在此时间空隙中送入其他路的信号，而各路信号则利用同一DSP，后者在同步器的控制下，算完一路信号后，再算另一路信号，因而处理器运算速度越高，能处理的信道数目也就越多。

3、信号的特性

信号的时间特性：任何信号都可以表示为随时间变化的函数。主要表现在随时间t的变化，其波形幅值的大小、持续时间的长短、变化速率的快慢、波动的速度及重复周期的大小等都发生改变。

信号的频率特性：任何信号都可以分解为许多不同频率的正弦分量之和。主要表现在各频率正弦分量所占比重的大小、主要频率分量所占有的频率范围等都不同。

不同形式的信号具有不同的时间特性和频率特性，而信号的时间特性和频率特性有着密切的联系，都包含了信号的全部信息。

4. 连续时间信号和离散时间信号

按信号是否是时间的连续函数划分为连续时间信号和离散时间信号。

幅值随时间做连续变化的连续时间信号称为模拟信号。模拟信号的时间和幅值均为连续的。

只在某些离散的时刻有定义的信号称之为离散信号。

为了研究和处理方便，将连续时间信号进行抽样，得到离散时间信号，即只取有代表性的离散时刻的信号数值。离散信号中时间离散、幅值连续的信号称之为抽样信号；经过量化后的离散信号，其时间和幅值均离散，称为数字信号。模拟信号经过抽样、量化后形成数字信号。由于数字芯片只能处理二进制数字信号，可以将一般数字信号编码，得到二进制数字信号。

5、抽样信号以符号来表示，其表达式为：

特征：t t

t Sa

sin )

(

1）是偶函数

2）在t=kπ时刻取值为0

3）t=0时刻的极限为1

4）曲线下面积为π

6、奇异信号：函数本身存在不连续点，或其导数和积分含有不连续点。

1．单位斜变信号斜变信号又称斜坡信号，是指信号在某时刻以后随时间呈现正比例增长。当斜变信号随时间增长的速率为1时，称为单位斜变信号或单位斜坡信号，用符号表示，定义为：

7．门函数

门函数是一矩形脉冲信号，又称矩形窗函数，用符号来表示，如图所示，其脉冲宽度为，脉冲幅度为1，定义为：

故门函数的频谱为抽样函数。

8. 信号的反褶

信号的反褶，又称折叠，就是把原信号沿纵轴翻转180°。已知原信号f(t)，其反褶运算后得到y(t)=f(-t)。

9、信号的时移

信号的时移，又称为平移，是将原信号沿时间轴向左或向右移动。原信号为f(t) ，时移后得到y(t)，表示为：

10、信号的尺度变换

原信号为f(t)，尺度变换后得到y(t)，表示为：f(at)

1）反褶->时移->尺度变换

2）尺度变换->反褶->时移f(1/2t)->f(-1/2t)->f(-1/2(t-2))

运算顺序没有限制，但始终是对t进行变换.

?

?

?

≥

<

=

)

(

t

t

t

t

R

t

t

?

?

?

?

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<

≤

-

-

=

a

)

(

)

(0

t

b

a

t

t

t

t

t

a

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f

)

(f

t

y=

t

t

)

(t

f

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ω

ωτ

ω

ω

ωτ

ωτ

τ

τ

ω

ω2

sin

2

)

(

)

(

2

2

2

2

A

j

e

e

A

dt

e

A

dt

e

t

g

G

j

j

t

j

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j=

-

-

=

=

=

-

-

-

∞

∞

-

-?

??

?

?

?

?

=

=

2

2

2

sin

ωτ

τ

ωτ

ωτ

τSa

A

A

11、线性时不变系统的基本性质

1．系统的线性特性

系统的线性特性是指系统同时具有叠加性和齐次性（均匀性）。

叠加性是指，若干激励信号同时作用于系统产生的响应等于各个激励信号单独作用于系统产生的响应之和。

齐次性是指，如果系统的输入激励变化为原来的倍时，系统的输出响应也随之变化原来的倍。

2．系统的时不变特性

由于时不变系统的元件参数不随时间改变，所以系统的零状态响应形式与激励信号的接入时刻无关，即当激励延迟时间时，其响应也同样延迟时间，波形形状不变，如图1所示。

3．线性时不变系统的特性

判断系统是否为线性时不变系统的方法是：（课本

29页,30页）

（1）当系统的微分方程是常系数的线性微分方程时，系统为线性时不变系统。

（2）一般情况下，可由下式判断系统是否是线性时不变系统。满足条件的是时不变系统H[x(t-a)]=y(t-a)（即系数是t 的函数）

4．线性时不变系统的因果特性（课本P31）

若线性时不变系统满足因果特性（系统输出只与当前以及过去的输入有关），则此系统为线性时不变因果系统。分子多项式的阶次高于分母则为非因果系统。

判断y(t)=x(t)-x(-2-t)是否为时不变因果系统？

12、冲激信号的性质

1．抽样特性

若连续时间信号f(t)在t=0时连续，则有：

同样，若连续时间信号f(t)在t=t0时连续，则有

2．奇偶特性—偶函数

3．尺度变换特性

13、冲激响应

以单位冲激信号作为激励，LTI连续系统产生的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为。冲激响应示意图如图所示。

t

)

(t

δ)

(t

h

14、卷积与零状态响应

由前面分析可知，任意激励信号x(t)都可以分解为冲激信号及其延时信号的加权之和，其强度为即：

根据冲激响应的定义和LTI系统的特性有

当激励为x(t)时，系统的零状态响应为：

上式表示为一个卷积积分。表明利用激励信号h(t)卷积即可得到系统的零状态响应

)

(

1

)

(t

a

atδ

δ=

)

(

)0(

)

(

)

(t

f

t

t

fδ

δ=

)

(

)0(

)

-

(

)

(

t

t

f

t

t

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f-

=δ

δ

)

(t

h

)

(t

δ)

(τ

δ?

-k

t

τ

τ??

?)

(k

x[]

∑∞

-∞

=

?

-

?

?

=

k

k

t

k

x

t

x)

(

)

(

)

(τ

δ

τ

τ

)

(

)

(

),

(

)

(τ

τ

δ

δ?

-

→

?

-

→k

t

h

k

t

t

h

t

[]

∑∞

-∞

=

?

-

?

?

=

k

zs

k

t

h

k

x

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y)

(

)

(

)

(τ

τ

τ

τ

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τd

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h

x

t

y

zs

)

(

)

(

)

(-

=?∞

∞

-

)

(t

x)

(t

y

)

(

)

(

)

(t

h

t

x

t

y

zs

*

=

15、卷积的图解法（离散卷积与连续的类似）

)

2

+

t 2

+

t

2

+

t

2

+

t

16、卷积性质 1．交换律 2．分配律 3．结合律

4．卷积的微分与积分 （f 上角的（1）表示一阶导数）。

17、单边频谱

若周期信号f(t)的傅里叶展开式为：

则对应的幅度频谱 和相位频谱 称为单边频谱，如图3-3所示。

18、双边频谱

若周期信号f(t)的傅里叶展开式为：

19．周期信号频谱的特点

（1）频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，即频谱具有离散性。 （2）频谱的每条谱线都只能出现在基波频率的整数倍的频率上，即频谱具有谐波性。

（3）频谱的各条谱线的高度，即各次谐波的振幅总是随着谐波次数的增大而逐渐减小；当谐波次数无限增大时，谐波分量的振幅也就无限趋小，即频谱具有收敛性。

（4）无论是幅度频谱还是相位频谱都包含了周期信号的全部信息。 20、周期信号的频带宽度

从零频率到需要考虑的最高分量的频率间的这一频率范围是信号的频带宽度。 若将周期矩形脉冲信号展开为指数形式的傅里叶级数，则：

2

-

2

12

+

t )

()(

)()(1221t f t f t f t f *=*)()()()()]()([

)(3121321t f t f t f t f t f t f t f *+*=+*)]

()([)()()]()([321321t f t f t f t f t f t f **=**∑∞

=++

=1

10)

cos()(n n n

t n c

c t f θωn

c n θ1

ω1

1

1

1

ωn 2-∑

∞

-∞

==

n t

jn

n e

F t f 1)(ωn

j n T t

jn n e

F dt e

t f T

F θω==

?

-0

1)(11

ω1

1

1

1

1

1

ω

周期矩形脉冲信号的频谱 ，右图为抽样信号

脉冲宽度值保持不变，频谱包络线的零点所在位置就保持不变。

而周期T1增大时，谱线变密，即在信号占有频带内谐波分量增多，谐波幅度减小。 21、典型信号的傅里叶变换及频谱图

1122

1

112jn t

n E n F Ee

dt Sa T T τ

ω

ττ

ωτ--

??=

=

???

?

1

ω

1

ω1

ω

22、傅里叶变换的基本性质 线性

对称性 ： 若 则 ，如上表中门函数和抽样函数的频谱。

尺度变换 ：

若a>1，表明被f(t)压缩；若0

时移特性 ： 信号在时域的平移对应频域相位的移动。

频移特性 ：

信号若在时域乘以因子，则对应于频域其频谱沿轴搬移了，即频域的移位相当于时域的幅度调制。

卷积定理

： 时域的卷积=频域乘积，频域的卷积=时域的乘积。

时域微分和时域积分

频域微分和频域积分

23、例

原信号延时

再在时间上压缩2倍得到的。

24、高频脉冲信号及其频谱

25、抽样定理（课本P71）

)()(ωF t f ?)(2)

(ωπ-?f t F ??

?

???a F a at f ω1)(2

-

2

t

t

4

-

4

)()(0t j e F t t f ωω±?±)()(00

ωωω F e t f t j ?±)()()()(2121ωωF F t f t f ??*2

τ2)]

2(2[)(τ-=t g t f ??? ??=2)(ωττωSa A F )

()(ωF t f ?a

b j e

a

F a

b at f ω

ω

-?

-)(

1)(ωτ

ωττ

τ242)]2(2[j e Sa A t g -??

? ??=-

fs(t)=fs(nTs)值(即抽样值)唯一的表示。

下图为开关信号和抽样信号及他们的频谱，开关信号是一系列周期性的冲激信号。

26、从抽样信号恢复连续时间信号

为了从 中无失真地选出 ，选择一个理想低通滤波器，其系统函数为

为截止频率，满足： 。

由抽样信号的频谱过滤出原信号的频谱

由抽样信号恢复原信号

27、离散信号的运算与变换 相加 相乘

差分 ：前向差分 后向差分 求和 ：信号的求和运算是对某一离散信号进行历史推演求和过程。 反褶 ：沿y 轴翻转180度，与连续信号的反折类似。 移位

尺度变换 ：f(an),a>1则信号在时间轴上被压缩，a<1被拉伸。 28、离散卷积和定义（课本P32）

计算卷积和应注意求和上下限，若为因果系统则应用下面右式。

离散卷积图解法与连续类似。以下为两个重要结论。

29、四种变换的比较和关系 DTFT 见课本P55

s s s

s

s s

s

s

s

s s

s s

s

m m

m

m

)(ω

s F )(ωF c

ωm s c m ωωω

ω-≤

m m

c

c

m

m ?=

s

s s

s

s

s

s

s *

s

s =

()(1)()f n f n f n ?=+-()()(1)f n f n f n ?=--()()

n

k y n f k =-∞

=

∑

1212()()()()

k f n f n f k f n k ∞=-∞

*=-∑12120()()()()n k f n f n f k f n k =*=-∑()()()f n n f n δ*=()()()

n

k f n u n f k =-∞

*=

∑

30、DFT 的定义（课本P113，DTFT 与DFT 的关系） 对于一个周期序列 ，定义它的第一个周期的有限长序列为该周期序列的主值序列 ，有 周期序列可以看作是有限长序列的延拓 周期延拓 加窗操作

周期序列DFS 与有限长序列DFS X(k)的关系： DFT 正反变换描述为：

其矩阵表示法为：

31、离散傅里叶变换（DFT ）的性质

线性、对称性、反转（课本P115）

序列的循环位移（P116）： 一个有限长序列 的循环移位定义为 或 这里包括三层意思：

1、先将 进行周期延拓：

2、再进行移位：

3、最后取主值序列：

()()

()(m od )(())N

r x n x n rN x n x n N x n +∞

=-∞

=

+==∑

()(())()()()N N x n x n x n x n R n ==()x n ()x n ()X k

()()

()()()()N

N

X

k X k X k X k R k == 1

()(())()N nk

N

n X k D FT x n x n W -===∑

1

1()(())()N nk

N

k x n IDFT X k X k W

N

--===

∑*1N N

X W x x W X

N ==

21

(1)(1)(1)

111

10,11

N N N

kn

N N

N N N

N W W W W

k n N W W ---?????

?????????=≤≤-=?????????

????

()x n ()(())N x n m x n m -=-()()()

()m N N

x n x n m R n =+()x n ()()()N x n x n = ()()()N x n m x n m +=+ ()()()

()m N N

x n x n m R n =+

32、离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法FFT(课本P128) 蝶形运算（2点DFT ）：

取x1(0)=x(0), x1(1)=x(1),用两点DFS 得X1（0）, X1（1）. 取x2(0)=x(2), x2(1)=x(3),用两点DFS 得X2（0）, X2（1）. 再用上式的X （0）~X （3）

.

33、什么是数字滤波器？ DF （Digital Filter ）（课本P36、P64）

滤波器：对特定频率的频点或该频点以外的频率进行有效滤除的电路，就是滤波器。

顾名思义：与模拟滤波器相对应，在离散系统中广泛应用数字滤波器。它的作用是利用离散时间系统的特性对输入信号波形或频率进行加工处理。其作用是对输入信号起到滤波的作用；

数字滤波器事实上是一个时域离散的线性时不变系统，它的滤波作用就是将输入信号经过某种运算或变换转变成为满足特定需要的输出信号。

它的功能：其功能是对输入离散信号的数字代码进行运算处理，以达到改变信号频谱的目的。把输入序列通过一定的运算变换成输出序列。

不同的运算处理方法决定了滤波器的实现结构的不同。从描述形式上看DF 是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统。

34、数字滤波器的工作原理

35、数字滤波器表示方法

信号流图是一种有向图，它用带箭头的线段代表一条支路，箭头的方向代表信号的流动方向。 1

012

2

2

()()(0)(1)nk

k

k

n X k x n W

x W x W ==

=+∑(0)(0)(1)(1)(0)(1)

X x x X x x =+=-01N 211N 2(2)X (0)W X (0)(3)X (1)W X (1)

X X =-=-0

1N 211N 2(0)X (0)W X (0)(1)X (1)+W X (1)X X =+=()()()()jw

jw

x n X e y n Y e 设是系统的输入，是其傅立叶变换。

是系统的输出，是其傅立叶变换。

则：

1

()()()[()()]

()(()()()

(),()()jw

jw

m jw

jw

jw

jw

jw

jw

jw

y n h n m x m F

X e

H e

X e H e X e

H e

H e

X e H e

∞

-=-∞

=

-=∑

看出：输入序列的频谱经过滤波器

其系统性能用表示）后变成选取使滤波器输出符合我们的要求，

这就是数字滤波器的工作原理。

（1） 加法器：

（2） 乘法器：

（3） 延迟单元：

36、模拟滤波器的理想幅频特性（从上到下依次是 低通 高通 带通 带阻 ）（课本P65）

37、IIR 滤波器的结构（课本P139） 直接型:信号流图画法。

级联型：对系统函数H （z ），Hk(z)称为其二阶基本节。 并联型

从级联结构中看出：

它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点。

调整β1i,β2i,只单独调整滤波器第I 对零点，而不影响其它零点。

同样，调整a1i,a2i,……只单独调整滤波器第I 对极点，而不影响其它极点。 级联结构特点：

(a)每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于控制频率响应。

(b)分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式，以及各二阶节的排列次序不同。

并联型结构图：

x2(n)

x1(n)+x2(n)

x(n)

ax(n)

a

x(n)x(n-1)1/z

12121

2

1

1

121()()

1M

M

k k k k k k k z z H z A A H z z

z

ββαα----==++==--∏

∏12121

2

121()1k k k k k z z H z z

z

ββαα----++=

--

38、FIR 滤波器的结构 （P149）

特点：

系统函数N-1个极点全部位于Z=0处， N-1个零点可在z 平面任何位置； 没有输出到输入间的反馈，不存在稳定性问题。 写成差分方程形式：

结构：直接型（下图）和级联型，其他参看例6-4。

39、数字滤波器的设计（P163引言及设计过程） 40、模拟滤波器的原型（P165）

41、巴特沃斯滤波器的特性（P166、P167例7-1）

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为： 式中，N 为正整数，表示滤波器的阶数， 为截止频率(3dB)。

实验总结

1、

>> x=0:0.01:pi;

>> y=sin(10*pi*x)+1./(cos(pi*x)+2);

>> plot(x,y)

2、产生一个幅度为2，数字角频率为pi/3，占空比duty=30%的离散周期方波。

>> A=2;omega=pi/3;duty=30;x=A*square(omega*n,duty); >> stem(n,x);

>> ylabel('x(n)');xlabel('Time index') 3、>> n=0:50;

>> x=[zeros(1,1),ones(1,50)];

>> y=2.^(n-1); >> z=x.*y; >> stem(n,z) 4、>> n=0:50; >> x=cos(pi/10.*n-pi/5); >> stem(n,x)

5、利用教材P44中sigmult 函数求下列序列的乘积 函数定义（函数定义要单独建立一个文件）：

1

2

3

11

3

1

1

2

122664)11211z

z

z

z H z z z

z

z

z

---------+++-+=

=+

+

-+---（1

()()()

N k y n h k x n k -==

-∑()221()1a N

H j =+ΩΩc 1sin(101)cos()2

y t t ππ=++

+);1(2)()1(1

-=-n u n x n );

510(cos )()2(π

π-=n n x

function [y,n]=sigmult(x1,n1,x2,n2)

n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2)); y1=zeros(1,length(n));y2=y1;

y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1)) =x1; y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1)) =x2; y=y1.*y2;

>> n1=-3:3;f10=[3,-2,5,1,-1,2,-3]; n2=-1:4;f20=[9,-2,0,-2,-4,8]; [y,n]=sigmult(f10,n1,f20,n2) y =

0 0 45 -2 0 -4 12 0 n =

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

6、产生幅度为3，数字角频率为pi/4，相位为pi/3的正弦序列，序列取值范围为（-20---20），给出其基

本周期。

A=3;f0=10;fi=pi/3; w=pi/4;

t=-20:0.01:20; x=A*sin(w*t+fi); plot(t,x);

ylabel('x(t)');xlabel('Times(s)') title('x=3sin(pi/4*t+pi/3)');

7、产生 的离散指数序列。 %产生A=0.7，r=5/7的离散序列 A=0.7;r=5/7; n=-10:0.5:10; x=A*r.^n; stem(n,x);

ylabel('x(n)');xlabel('Time index') title('x=0.7*(5/7)^n');

8、利用MATLAB 计算离散卷积y(n)=x1(n)*x2(n) x1=[2,1,1,2,0,0]; x2=[1,2,1,2,0]; y=conv(x1,x2) stem(y)

9、用MATLAB 验证DFT 的性质：序列的循环位移。已知周期序列

周期N=16，序列n 取值范围为（0-11），试求 。

%cirshftt.m 文件的内容

function y = cirshftt( x,m,N ) if length(x)>N

error('N must be >= the length of x') end

x=[x zeros(1,N-length(x))]; n=[0:1:N-1]; n=mod(n-m,N); y=x(n+1);

%命令窗口的内容 n=0:11;

x=cos(pi/8*n+pi/3); y=cirshftt(x,7,16);

n=0:15;x=[x, zeros(1,4)];

subplot(2,1,1);stem(n,x); title('Original sequence'); xlabel('n'); ylabel('x(n) ');axis([-1,15,-1,1.5]) subplot(2,1,2);stem(n,y);

??

?

?

??????--==↑32,1-,1523)(01，，，，n n f ?

?

?

???---==↑

842,0,29)(02，，，n n f n n x )

75(7.0)(=??????==↑0,0,2,1,1,2)(10

n n x ?

?

?

???==↑

0,2,12,1)(20

，n n x )

38cos()(π

π+=n n x 16))7((-n x

xlabel('n'); ylabel('x((n-7)mod 16) ');axis([-1,15,-1,1.5])

10、参考课件例题，利用MATLAB工具箱函数，设计巴特沃斯低通滤波器，要求指标：通带截止频率:Wp=40Hz,

通带最大衰减:Rp=3dB

阻带截止频率:Ws=240Hz,

阻带最大衰减:Rs=40dB

fp=40;fs=240;Rp=3;As=40; %设置滤波器指标

[N,fc]=buttord(fp,fs,Rp,As,'s') %计算阶数和截止频率

[B,A]=butter(N,fc,'s'); %设计巴特沃斯模拟低通滤波器

[hf,f]=freqs(B,A,1024); %计算模拟滤波器的频率响应

plot(f,20*log10(abs(hf))); %绘图

axis([0,300,-40,5]);

xlabel('f/Hz');ylabel('H(dB)');

line([0,4000],[-3,-3]);

line([3400,3400],[-90,5])