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数学人教版九年级上册圆的切线证明与计算

数学人教版九年级上册圆的切线证明与计算
数学人教版九年级上册圆的切线证明与计算

切 线 复 习

班级:________________ 姓名:___________________

一、直线和圆的位置关系

切线的判定:

切线的性质: 二、切线长定理:

结合图形: 当PA 、PB 与⊙O 相切 推出结论:

★ 在切线问题中,经常需要作过切点的半径为辅助线

三、能力提升:

1、如图:⊙O 与等腰梯形ABCD 各边都相切,切点分别是E 、F 、G 、H ,等腰梯形的周长是24cm ,则腰AB=_______________。

2、如图,∠AOB=30°,M 为边OB 上一点,以M 为圆心,2cm 为半径作⊙M ,若点

M 在OB 上运动,则当OM= cm 时,⊙M 与OA 相切。

P

A

O

B

F C M O B A N

3如图:半径为2的⊙P ,点P 在直线y=x-2上运动,当⊙P 和x 轴相切时,点P 的坐标是_______________。

3、如图:PA,PB 是⊙O 的切线,A 、B 为切点,AC 是⊙O 的直径,∠BAC=25o ,求:∠P

的度数。

4、如图:AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,D 是⊙O 上一点,且A D ∥CO ,CO 与BD 交于点E 。 (1)、请说明△ADB 与△OBC 相似

(2)、若AB=2,BC=2,求:AD 的长。

A

P .

人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案完整版

人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含 答案 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

圆 24.1.1圆 知识点一圆的定义 圆的定义:第一种:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心,线段OA叫作半径。第二种:圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知:第一种定义是圆的形成进行描述的,第二种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长,也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 (1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径。 (2)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。 (3)等圆:等够重合的两个圆叫做等圆。 (4)等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段,弧是曲线,判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧,而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。如图所示,直径为CD,AB是弦,且CD⊥AB, A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 如上图所示,直径CD与非直径弦AB相交于点M, CD⊥ABAM=BMAC=BC AD=BD 注意:因为圆的两条直径必须互相平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必须不是直径,否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。 (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等。 (3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件,如果丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等,比如两个同心圆中,两个圆心角相同,但此时弧、弦不一定相等。

九年级数学圆的切线的判定性质和画法

3.2.2圆的切线的判定、性质和画法(1) 一、教学目的要求: 1.知识目的: (1)掌握切线的判定定理. (2)应用切线的判定定理证明直线是圆的切线,初步掌握圆的切线证明问题中辅助线的添加方法. 2.能力目的: (1)培养学生动手操作能力. (2)培养学生观察、探索、分析、总结、推理论证等能力. 3.情感目的: 通过直观教具的演示和指导学生动手操作的过程,激发学生学习几何的积极性. 二、教学重点、难点 1.重点:切线的判定定理. 2.难点:圆的切线证明问题中,辅助线的添加方法. 三、教学过程: (一)复习引入 回答下列问题:(投影显示) 1.直线和圆有哪三种位置关系?这三种位置关系是如何定义?如何判定的? 2.什么叫做圆的切线?根据这个定义我们可以怎样来判定一条直线是不是一个圆的切线?

(要求学生举手回答,教师用教具演示) 我们可以用切线的定义来判定一条直线是不是一个圆的切线,但有时使用起来很不方便,为此,我们还要学习切线的判定定理. (二)新课讲解 1.切线判定定理的导出 上节课讲了“圆心到一条直线的距离等于该圆的半径,则该直线就是一条切线”.下面请同学们按我口述的上不骤作图(一同学到黑板上作): 先画⊙O,在⊙O上任取一点A,边结OA,过A点作⊙O的切线L. 请学生回顾作图过程,切线L是如何作出来的?它满足哪些条件? 引导学生总结出:①经过关径外端,②垂直于这条半径. 如果一条直线满足以上两个条件,它就是一条切线,这就是本节要讲的“切线的判定定理”.(板书定理) 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 请同学们思考一下,该判定定理的两个条件缺少一个可以吗? 下图中L是不是圆的切线?(用教具演示下面两个反例)

人教版九年级数学上册圆

初中数学试卷 金戈铁骑整理制作 圆 章节测试 时间:40分钟 满分:120分 姓名: 得分: 一、选择题(本大题共9小题,共54分) 1. 如图,圆锥的底面半径为2,母线长为6,则侧面积为( ) A. 4π B. 6π C. 12π D. 16π 2. 一个扇形的弧长是10πcm ,面积是60πcm 2,则此扇形的圆心角的度数是( ) A. 300° B. 150° C. 120° D. 75° 3. 下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 4. 如图,AB 是⊙O 的直径,C ,D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点.下列四个角中,一定与∠ACD 互余的角是( ) A. ∠ADC B. ∠ABD C. ∠BAC D. ∠BAD 5. 如图,在⊙O 中,AB 是直径,AC 是弦,连接OC ,若∠ACO =30°,则∠BOC 的度数是( ) A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°

6.如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12, OM:MD=5:8,则⊙O的周长为() A. 26π B. 13π C. D. 7.如图,将半径为2,圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°,点O,B的 对应点分别为O′,B′,连接BB′,则图中阴影部分的面积是() A. B. 2- C. 2- D. 4- 8.如图,在半径为4的⊙O中,CD是直径,AB是弦,且CD⊥AB,垂足为点E,∠AOB=90°, 则阴影部分的面积是() A. 4π-4 B. 2π-4 C. 4π D. 2π

九年级数学圆知识点归纳

:从网络收集整理.word版本可编辑. 圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径:圆上一点与圆心的连线段。 2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。 4、弧:圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 (1)劣弧:小于半圆周的弧。 (2)优弧:大于半圆周的弧。 5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。 6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。 7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 (1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。 (3 )圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论: ?平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ?平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。(1)同弧所对的圆周角相等。 (2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O的半径为r,OP=d。 7、(1 (2 (直角三角形的外心就是斜边的中点。) 8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离,r表示圆的半径。 直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切;直线与圆没有交点,直线与圆相离。 2 9A(x1,y1)、B(x2,y2)。 d= r 直线与圆相切。 d< r(r > d直线与圆相交。 d > r(r d点P在⊙O内 d > r(r

人教版九年级数学上册圆单元测试题及答案

九年级数学第二十四章圆测试题(A) 时间:45分钟分数:100分 一、选择题(每小题3分,共33分) 1 .若O O所在平面内一点P到O O上的点的最大距离为10, A . 14 B . 6 C . 14 或6 D. 7 或3 2. 如图24—A —1 , O O的直径为10,圆心O到弦AB的距离 A . 4 B . 6 C . 7 I 3. 已知点O ABC的外心,若/ A=80 A . 40 4. 如图 A . 20° B . 80 24—A — 2, B . C. 160° △ ABC内接于O 最小距离为 OM的长为 4则此圆的半径为( 3,则弦AB 的长是 D . 8 ,则/ BOC的度数为( D. 120° 若/ A=40 °,则/ OBC的度数为( O 图24—A — 4 图24—A — 3 小明同学设计了一个测量圆直径的工具, 垂直,在测直径时,把O点靠在圆周上, A . 12个单位 B . 10个单位 6. 如图 A . 80° 7. 如图 PB于点 A . 5 24—A —4, AB为O O的直径,点 B. 50° C. 40 ° 24—A —5, P 为O O 外一点, 5 .如图24—A —3, 标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起, 读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为( D . 15个单位 ,则/ A等于() 并使它们保持 ) PA 、 C、D,若PA=5,则△ PCD的周长为( B . 7 C . 8 D . 10 C . 1个单位 C 在O O 上,若/ B=60 ° D . 30° PB分别切O O于A、B, ) CD切O O于点E,分别交PA、 &若粮仓顶部是圆锥形,且这个圆锥的底面直径为 毡,则这块油毡的面积是() 4m,母线长为3m,为防雨需在粮仓顶部铺上油 A . 6m2 C . 12m22 D . 12二 m 9.如图24—A —6,两个同心圆,大圆的弦AB 点P,且 CD=13 , PC=4,则两圆组成的圆环的面积是( A. 16 n B . 36 n 10 .已知在△ ABC中, 10 A . 3 11.如图 C、D E、 C. 52 n AB=AC=13 , 与小圆相切于点P,大圆的弦CD经过) D. 81 n BC=10,那么△ ABC的内切圆的半径为( 12 B . 5 24—A —7,两个半径都是4cm的圆外切于点C, 一只蚂蚁由点A开始依A、B、 F、C、G A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行,蚂蚁在这 C. 2 径上不断爬行,直到行走2006 n cm后才停下来, A . D 点 B . E 点 C . F 点D 二、填空题(每小题3分,共30分) 12 .如图24—A —8,在O O中,弦AB等于O 则蚂蚁停的那一个点为( .G点 O的半径,0C丄AB交O O于点C,则 8段路 )

九年级数学证明圆的切线专题

证明圆的切线专题 证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路: 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径: 2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2. 1. 如图,在Rt ABC ?中, 90C ?∠=,点D 是AC 的中点,且90A CDB ?∠+∠=,过点,A D 作O ,使圆心O 在AB 上,O 与AB 交于点E . (1)求证:直线BD 与O 相切; (2)若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径. 2.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90o,O 、D 分别为AB 、BC 上的点,经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ,且D 为EF 的中点。 (1)(4分)求证:BC 与⊙O 相切 (2)(4分)当,∠CAD=30o时,求AD 的长。 3. 如图,已知CD 是ΘO 的直径,AC ⊥CD ,垂足为C ,弦DE ∥OA ,直线AE 、CD 相交于点B . (1)求证:直线AB 是OO 的切线; (2)如果AC =1,BE =2,求tan ∠OAC 的值.

4. 如图,在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径作⊙O ,交BC 于点D ,过点D 作DE ⊥AC ,垂足为E 。 (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)如果BC =8,AB =5,求CE 的长。 5.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠ACB 的平分线交AB 于点O ,以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D . (1)求证:⊙O 与BC 相切; (2)当AC=3,BC=6时,求⊙O 的半径 6. 如图,AB 是⊙O 的直径,AM ,BN 分别切⊙O 于点A ,B ,CD 交AM ,BN 于点D ,C ,DO 平分∠A DC . (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若AD=4,BC=9,求⊙O 的半径R . 7.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB =AC ,点P 是?AB 的中点,连接P A ,PB ,PC . (1)如图①,若∠BPC =60°,求证: AP AC 3=; (2)如图②,若2524sin = ∠BPC ,求PAB ∠tan 的值.

九年级数学:切线长定理

初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校: 年级: 任课教师: 数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案 编订:XX文讯教育机构

切线长定理 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容,让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力,培养学生的逻辑、直觉判断等能力,本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写,可以放心修改调整或直接进行教学使用。 1、教材分析 (1)知识结构 (2)重点、难点分析 重点:及其应用.因再次体现了圆的轴对称性,它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据,它属于工具知识,经常应用,因此它是本节的重点.难点:与有关的证明和计算问题.如120页练习题中第3题,它不仅应用,还用到解方程组的知识,是代数与几何的综合题,学生往往不能很好的把知识连贯起来. 2、教法建议 本节内容需要一个课时. (1)在教学中,组织学生自主观察、猜想、证明,并深刻剖析的基本图形;对重要的结论及时总结; (2)在教学中,以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线,开展

在教师组织下,以学生为主体,活动式教学. 教学目标 1.理解切线长的概念,掌握; 2.通过对例题的分析,培养学生分析总结问题的习惯,提高学生综合运用知识解题的能力,培养数形结合的思想. 3.通过对定理的猜想和证明,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,树立科学的学习态度. 教学重点: 是教学重点 教学难点: 的灵活运用是教学难点 教学过程设计: (一)观察、猜想、证明,形成定理 1、切线长的概念. 如图,P是⊙O外一点,PA,PB是⊙O的两条切线,我们把线段PA,PB叫做点P到⊙O 的切线长.

2017春九年级数学下册2圆小专题(三)圆的切线的判定方法习题(新版)湘教版

小专题(三) 圆的切线的判定方法 类型1直线与圆有交点 方法归纳:直线过圆上某一点,证明直线是圆的切线时,只需“连半径,证垂直,得切线”.“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角,如直径所对的圆周角等于90°等. 【例1】如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于点D,DM⊥AC于M.求证:DM与⊙O相切. 1.如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠D=30°,求证:CD是⊙O的切线. 2.(衡阳中考改编)如图,AB是⊙O的直径,点C,D为半圆O的三等分点,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E.求证:CE为⊙O的切线. 3.(张家界中考)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,直线MN经过点C,过点A作直线MN的垂线,垂足为

点D,且∠BAC=∠CAD. (1)求证:直线MN是⊙O的切线; (2)若CD=3,∠CAD=30°,求⊙O的半径.

类型2不确定直线与圆是否有公共点 方法归纳:直线与圆没有已知的公共点时,通常“作垂直,证半径,得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等. 【例2】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于点D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D.求证:AC是⊙D的切线. 4.如图,O为正方形ABCD对角线AC上一点,以O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点M,与AB,AD分别相交于点E,F.求证:CD与⊙O相切. 5.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AB上的一点,DE=DC,以D为圆心,DB

人教版九年级数学上册教案《圆》

《圆》 圆是常见的几何图形, 是平面几何中基本的图形之一,它具有独特的性质。本章是在学生在小学学过的圆的知识的基础上,系统研究圆的概念和性质,点与圆、 直线与圆的位置关系、正多边形和圆的关系,以及圆的弧长与面积的计算等问题。 本小节是圆这一章的第一节课,主要是研究圆的概念及其相关概念,本节内容是继续研究圆的性质的基础。教材一开始是让学生观察生活中有关圆的形象的物体,结合小学学过的有关圆的知识,通过用圆规画圆的方法导入圆的定义的。圆的定义方法有两种,一种是描述性定义,一种是集合性定义。圆的描述性定义,要让学生用自己的语言尝试表述,教师可以引导学生通过观察画加深理解;圆的集合定义,应通过观察、体会画圆的过程,引导学生从圆和点两个方面去思考得出圆的集合定义。得出圆的定义后,接着介绍圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧等相关性质。教材中的例1是证明四点共圆,只要证明矩形的四个顶点到对角线的交点距离相等即可,进一步让学生体会圆的集合定义的应用。 【知识与能力目标】 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念; 2.了解等圆、等弧的概念。

【过程与方法目标】 从感受圆在生活中大量存在到圆的概念的形成过程中,让学生体会圆的不同定义方法,感受圆和实际生活的联系。 【情感态度价值观目标】 在探索圆的概念的过程中让学生体会数学知识无处不在,感受生活中处处有数学。 【教学重点】 对圆的两种定义的理解。 【教学难点】 对圆的集合定义的理解。 多媒体课件、教具等。 一、创设情境,引入新课 问题1 观察下列图形,你能从中找出它们的共同特征吗? 追问:你能再举出一些生活中类似的实例吗? 设计意图:让学生观察图形,感受圆和实际生活的密切联系,为学习圆的相关概念打下基础,同时还可以激发学生的学习热情。 二、探索新知,形成概念 问题2 观察下列画圆的过程,你能由此说出圆的形成过程吗?

九年级数学圆知识点总结

初三圆的知识点总结 如图:有五个元素,“知二可推三”;需记忆其中四个定理,即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”. 几何表达式举例:∵ CD 过圆心∵CD ⊥AB 2.平行线夹弧定理: 圆的两条平行弦所夹的弧相等 . 几何表达式举例: 3.“角、弦、弧、距”定理:(同圆或等圆中) “等角对等弦”;“等弦对等角”;“等角对等弧”;“等弧对等角”;“等弧对等弦”;“等弦对等(优,劣)弧”;“等弦对等弦心距”;“等弦心距对等弦” . 几何表达式举例:(1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD ∴∠AOB=∠COD 4.圆周角定理及推论: (1)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半;(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;(如图) (3)“等弧对等角”“等角对等弧”;(4)“直径对直角”“直角对直径”;(如图) (5)如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 .(如 图) (1)(2)(3) (4) 几何表达式举例: (1)∵∠ACB=2 1∠AOB ∴ …………… (2)∵ AB 是直径 ∴∠ACB=90° (3)∵∠ACB=90° ∴ AB 是直径 (4)∵ CD=AD=BD ∴ΔABC 是Rt Δ 5.圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外 角都等于它的内对角 . 几何表达式举例:∵ ABCD 是圆内接四边形∴ ∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180° 6.切线的判定与性质定理: 如图:有三个元素,“知二可推一”;需记忆其中四个定理. (1)经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线; (2)圆的切线垂直于经过切点的半径; ※(3)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;※(4)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 几何表达式举例: (1)∵OC 是半径∵OC ⊥AB ∴AB 是切线 (2)∵OC 是半径 ∵AB 是切线∴OC ⊥AB (3) …………… 7.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等;圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 几何表达式举例: ∵ PA 、PB 是切线∴ PA=PB ∵PO 过圆心∴∠APO =∠BPO 8.弦切角定理及其推论 : 几何表达式举例: A B C D O A B C D E O 平分优弧 过圆心 垂直于弦平分弦平分劣弧 ∴ AC BC AD BD == AE=BE A B C D E F O A B C O P A B O A B C D E A B C O A B C D ∵∴ ∥=AB CD AC BD A B C O 是半径垂直是切线

初三上学期数学圆试题一及答案

九年级上册 初三数学圆测试题一附参考答案 一、填空题(每题3分,共30分) 1.如图1所示AB 是⊙O 的弦,OC ⊥AB 于C ,若OA=2cm ,OC=1cm ,则AB 长为______. ? 图1 图2 图3 2.如图2所示,⊙O 的直径CD 过弦EF 中点G ,∠EOD=40°,则∠DCF=______. 3.如图3所示,点M ,N 分别是正八边形相邻两边AB ,BC 上的点,且AM=BN,则 ∠MON=_________________度. 4.如果半径分别为2和3的两个圆外切,那么这两个圆的圆心距是_______. 5.如图4所示,宽为2cm 的刻度尺在圆上移动,当刻度尺的一边与圆相切时,另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位:cm )?则该圆的半径为______cm . 图4 图5 图6 6.如图5所示,⊙A 的圆心坐标为(0,4),若⊙A 的半径为3,则直线y=x 与⊙A?的位置关系是________. 7.如图6所示,O 是△ABC 的内心,∠BOC=100°,则∠A=______. 8.圆锥底面圆的半径为5cm ,母线长为8cm ,则它的侧面积为________.(用含 的式子表示) 9.已知圆锥的底面半径为40cm ,?母线长为90cm ,?则它的侧面展开图的圆心角为_______. 10.矩形ABCD 中,AB=5,BC=12,如果分别以A ,C 为圆心的两圆相切,点D 在⊙C 内,点B 在⊙C 外,那么⊙A 的半径r 的取值范围为________. 二、选择题(每题4分,共40分) 11.如图7所示,AB 是直径,点E 是半圆 AB 中点,弦CD ∥AB 且平分OE ,连AD ,∠BAD 度数为( ) A .45° B .30° C .15° D .10° 图7 图8 图9 12.下列命题中,真命题是( ) A .圆周角等于圆心角的一半 B .等弧所对的圆周角相等 C .垂直于半径的直线是圆的切线 D .过弦的中点的直线必经过圆心 13.半径分别为5和8的两个圆的圆心距为d ,若3

九年级数学证明圆的切线专题

九年级数学证明圆的 切线专题 证明一条直线是圆的切线;主要有两个思路: 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径: 2;是利用切线的判判定定理;证明这条直线经过一条半径的外端;并且和这条半径垂直. 1不常用;一般常用2. 1. 如图;在Rt ABC ?中; 90C ?∠=;点D 是AC 的中点;且90A CDB ?∠+∠=;过点,A D 作O ;使圆心O 在AB 上;O 与AB 交于点E . (1)求证:直线BD 与O 相切; (2)若:4:5,6AD AE BC ==;求O 的直径. 2.如图;在Rt △ABC 中;∠C=90o;O 、D 分别为AB 、BC 上的点;经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ;且D 为EF 的中点。 (1)(4分)求证:BC 与⊙O 相切 (2)(4分)当;∠CAD=30o时;求AD 的长。 3. 如图;已知CD 是ΘO 的直径;AC ⊥CD ;垂足为C ;弦DE ∥OA ;直线AE 、CD 相交于点B . (1)求证:直线AB 是OO 的切线; (2)如果AC =1;BE =2;求tan ∠OAC 的值.

4.如图;在△ABC中;AB=AC;以AB为直径作⊙O;交BC于点D;过点D作DE⊥AC;垂足为E。(1)求证:DE是⊙O的切线; (2)如果BC=8;AB=5;求CE的长。 5.如图;在△ABC中;∠C=90°;∠ACB的平分线交AB于点O;以O为圆心的⊙O与AC相切于点D. (1)求证:⊙O与BC相切; (2)当AC=3;BC=6时;求⊙O的半径 6.如图;AB是⊙O的直径;AM;BN分别切⊙O于点A;B;CD交AM;BN于点D;C;DO平分∠A DC. (1)求证:CD是⊙O的切线; (2)若AD=4;BC=9;求⊙O的半径R.

人教版数学九年级上册圆知识点总结

人教版数学九年级上册圆知识点总结 人教版数学九年级上册圆知识点总结 24.1 圆 定义:(1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 (2)平面上一条线段,绕它的一端旋转360°,留下的轨迹叫圆。 圆心:(1)如定义(1)中,该定点为圆心 (2)如定义(2)中,绕的那一端的端点为圆心。 (3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。 (4)垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注:圆心一般用字母O表示 直径:通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。 半径:连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。 圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形,每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中:直径是半径的2倍,半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。 圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。 圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,用字母C表示。 圆的周长与直径的比值叫做圆周率。 圆的周长除以直径的商是一个固定的数,把它叫做圆周率,它是一个无限不循环小数(无理数),用字母π表示。计算时,通常取它的近似值,π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 圆的面积公式:圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr,用字母S表示。 一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。 周长计算公式 1.、已知直径:C=πd 2、已知半径:C=2πr 3、已知周长:D=cπ

人教版九年级数学上册 圆 几何综合(篇)(Word版 含解析)

人教版九年级数学上册 圆 几何综合(篇)(Word 版 含解析) 一、初三数学 圆易错题压轴题(难) 1.已知圆O 的半径长为2,点A 、B 、C 为圆O 上三点,弦BC=AO ,点D 为BC 的中点, (1)如图,连接AC 、OD ,设∠OAC=α,请用α表示∠AOD ; (2)如图,当点B 为AC 的中点时,求点A 、D 之间的距离: (3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ,以O 为圆心,AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切,求弦AE 的长. 【答案】(1)1502AOD α∠=?-;(2)7AD =3) 331331 22 or 【解析】 【分析】 (1)连接OB 、OC ,可证△OBC 是等边三角形,根据垂径定理可得∠DOC 等于30°,OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α,利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值. (2)连接OB 、OC ,可证△OBC 是等边三角形,根据垂径定理可得∠DOB 等于30°,因为点D 为BC 的中点,则∠AOB=∠BOC=60°,所以∠AOD 等于90°,根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD 、AD 的长. (3)分两种情况讨论:两圆外切,两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系,求出AD 的长,再过O 点作AE 的垂线,利用勾股定理列出方程即可求解. 【详解】 (1)如图1:连接OB 、OC. ∵BC=AO ∴OB=OC=BC ∴△OBC 是等边三角形 ∴∠BOC=60° ∵点D 是BC 的中点 ∴∠BOD=1 302 BOC ∠=? ∵OA=OC ∴OAC OCA ∠=∠=α ∴∠AOD=180°-α-α-30?=150°-2α

(完整版)九年级数学圆的知识点总结大全

第四章:《圆》 一、知识回顾 圆的周长:C=2πr或C=πd、圆的面积:S=πr2 圆环面积计算方法:S=πR2-πr2或S=π(R2-r2)(R是大圆半径,r是小圆半径) 二、知识要点 一、圆的概念 集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。 2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线; 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r?点A在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r>?无交点; A

2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点; 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点; 四、圆与圆的位置关系 外离(图1)? 无交点 ? d R r >+; 外切(图2)? 有一个交点 ? d R r =+; 相交(图3)? 有两个交点 ? R r d R r -<<+; 内切(图4)? 有一个交点 ? d R r =-; 内含(图5)? 无交点 ? d R r <-; 五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; 图4 图5

人教版九年级数学上册圆单元测试题及答案

九年级数学第二十四章圆测试题(A ) 时间:45分钟 分数:100分 一、选择题(每小题3分,共33分) 1.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为10,最小距离为4则此圆的半径为( ) A .14 B .6 C .14 或6 D .7 或3 2.如图24—A —1,⊙O 的直径为10,圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3,则弦AB 的长是( ) A .4 B .6 C .7 D .8 3.已知点O 为△ABC 的外心,若∠A=80°,则∠BOC 的度数为( ) A .40° B .80° C .160° D .120° 4.如图24—A —2,△ABC 内接于⊙O ,若∠A=40°,则∠OBC 的度数为( ) A .20° B .40° C .50° D .70° 5.如图24—A —3, 小明同学设计了一个测量圆直径的工具,标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O 点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为( ) A .12个单位 B .10个单位 C .1个单位 D .15个单位 6.如图24—A —4,AB 为⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,若∠B=60°,则∠A 等于( ) A .80° B .50° C .40° D .30° 7.如图24—A —5,P 为⊙O 外一点,PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ,CD 切⊙O 于点E ,分别交PA 、PB 于点C 、D ,若PA=5,则△PCD 的周长为( ) A .5 B .7 C .8 D .10 8.若粮仓顶部是圆锥形,且这个圆锥的底面直径为4m ,母线长为3m ,为防雨需在粮仓顶部铺上油毡,则这块油毡的面积是( ) A .2 6m B .2 6m π C .2 12m D .2 12m π 9.如图24—A —6,两个同心圆,大圆的弦AB 与小圆相切于点P ,大圆的弦CD 经过点P ,且CD=13,PC=4,则两圆组成的圆环的面积是( ) A .16π B .36π C .52π D .81π 10.已知在△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,那么△ABC 的内切圆的半径为( ) A . 310 B .5 12 C .2 D .3 11.如图24—A —7,两个半径都是4cm 的圆外切于点C ,一只蚂蚁由点A 开始依A 、B 、C 、D 、 E 、 F 、C 、 G 、A 的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行,蚂蚁在这8段路径上不断爬行,直到行走2006πcm 后才停下来,则蚂蚁停的那一个点为( ) A .D 点 B .E 点 C .F 点 D .G 点 图24—A — 5 图24—A — 6 图24—A — 1 图24—A — 2 图24—A — 3 图24—A — 4 图24—A —7

证明圆的切线经典例题

证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有: 一、若直线l 过⊙O 上某一点A ,证明l 是⊙O 的切线,只需连OA ,证明OA ⊥l 就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图,在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ,交AC 于E ,B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证:EF 与⊙O 相切. 证明:连结OE ,AD. ∵AB 是⊙O 的直径, ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC , ∴∠3=∠4. ∴BD=DE ,∠1=∠2. 又∵OB=OE ,OF=OF , ∴△BOF ≌△EOF (SAS ). ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切, ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明:此题是通过证明三角形全等证明垂直的 ⌒ ⌒

例2 如图,AD 是∠BAC 的平分线,P 为BC 延长线上一点,且PA=PD. 求证:PA 与⊙O 相切. 证明一:作直径AE ,连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD , ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB , ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E , ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径, ∴AC ⊥EC ,∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二:延长AD 交⊙O 于E ,连结OA ,OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴BE=CE , ∴OE ⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE , ∴∠E=∠1. ∵PA=PD , ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ⌒ ⌒

九年级数学圆知识点及习题(含答案)

1、圆的有关概念与性质 1.圆上各点到圆心的距离都等于 半径 。 2.圆是 轴 对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的 对称轴 ;圆又是 中心 对 称图形, 圆心 是它的对称中心。 3.垂直于弦的直径平分 这条弦 ,并且平分 弦所对的弧 ;平分弦(不是直径)的 直径 垂 直于弦,并且平分 弦所对的弧 。 4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量 相等 , 那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 。 5.同弧或等弧所对的圆周角 相等 ,都等于它所对的圆心角的 一半 。 6.直径所对的圆周角是 90° ,90°所对的弦是 直径 。 7.三角形的三个顶点确定 1 个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形的外接圆的圆心叫 外 心,是三角形 三边垂直平分线 的交点。 8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆 ,内切圆的圆心是三角形 三条角平分线的交点 的交点,叫做三角形的 内心 。 9.圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形. 10.圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角 2、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系共有三种:① 点在圆外 ,② 点在圆上 ,③ 点在圆内 ;对应的点到圆 心的距离d 和半径r 之间的数量关系分别为: ①d > r ,②d = r ,③d < r. 2.直线与圆的位置关系共有三种:① 相交 ,② 相切 ,③ 相离 ; 对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径r 之间的数量关系分别为: ①d < r ,②d = r ,③d > r. 3.圆与圆的位置关系共有五种: ① 内含 ,② 相内切 ,③ 相交 ,④ 相外切 ,⑤ 外离 ; 两圆的圆心距d 和两圆的半径R 、r (R ≥r )之间的数量关系分别为: ①d < R-r ,②d = R-r ,③ R-r < d < R+ r ,④d = R+r ,⑤d > R+r. 4.圆的切线 垂直于 过切点的半径;经过 直径 的一端,并且 垂直于 这条 直径 的直线是圆的切线. 5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线, 切线长 相等,这点与圆心之间的连线 平分 这两条切 线的夹角。 3、与圆有关的计算 1.圆的周长为 2πr ,1°的圆心角所对的弧长为 180r ,n °的圆心角所对的弧长

人教版九年级数学上册《圆》教案

《圆》教案 学习目标 1、感受并发现圆的有关特征,理解圆的圆心、半径和直径等概念. 2、进一步积累认识图形的学习经验,培养学生的观察能力、动手操作能力、抽象概括能力和合作交流能力,增强空间观念,发展数学思考. 3、体验圆与生活的联系,从数学的角度感受圆的美,激发学生数学学习的热情和兴趣.教学过程 (一)情境引入 前段时间我们学习了图形的旋转,图形的旋转创造了生活中的许多美. 思考:圆绕其圆心旋转任何度数都能和自身重合吗? 圆是一种基本的几何图形,圆形物体在生活中随处可见. 展示图片(生活中的圆) 这一节课我们一起学习“圆”. (二)学生自学 组织学生自学,并要求学生完成自学提纲里的问题. 自学提纲为:请同学们阅读课本练习前的内容,并思考: 1.①观察画圆的过程,你能概括出圆的定义吗? ②圆的图形符号怎样来表示? ③确定一个圆需要哪两个要素? 2.①从集合的角度怎样定义圆? ②车轮为什么做成圆形的? 3.①理解圆的相关概念:弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧. ②注意区别优弧和劣弧. (三)检查自学效果 请学生回答自学提纲中的问题,检测学生是否真正理解这些知识点,再组织学生进行评价并纠错,在学生回答的过程中老师把主要知识点在黑板上予以呈现,部分答案利用多媒体展示. (四)学以致用 想一想:通过七道题,先让学生独立思考,然后请学生汇报结果,再请学生评价并纠错,最后归纳解题方法.老师适时做以引导,方法上的总结. 1、判断下列说法的正误 (1)弦是直径;( ) (2)半圆是弧;( )

(3)过圆心的线段是直径;( ) (4)过圆心的直线是直径;( ) (5)半圆是最长的弧;( ) (6)直径是最长的弦;( ) (7)圆心相同,半径相等的两个圆是同心圆;( ) (8)半径相等的两个圆是等圆.( ) 2、圆中最长的弦长为12cm ,则该圆的半径为________. 3、下列说法错误的有( )个. ①经过P 点的圆有无数个. ②以P 为圆心的圆有无数个. ③半径为3cm 且经过P 点的圆有无数个. ④以P 为圆心,以3cm 为半径的圆有无数个. A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 4、如图,若∠AOB =60°,则△AOB 是_____三角形. 5、如图,弦有:______________ 在圆中有长度不等的弦,直径是圆中最长的弦. 6、如图,弧有:______________ 7、劣弧有:______________ 优弧有:______________ 判断:半圆是弧,但弧不一定是半圆.( ) 课堂小结 通过本节课的学习你学会了什么知识和方法?先请学生进行自主小结,再由老师概括总结,形成知识体系. ● O B C A

九年级数学圆的切线的性质及判定练习题

人教版九年级数学上册切线的判定与性质练习题 一、选择题 1.下列说法中,正确的是( ) A.与圆有公共点的直线是圆的切线B.经过半径外端的直线是圆的切线 C.经过切点的直线是圆的切线D.圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 2. 如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,BC交⊙O于点D,若∠C=70°,则∠AOD的度数为( ) A.70°B.35°C.20°D.40° 3.如图,线段AB是⊙O的直径,点C,D为⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,若∠E=50°,则∠CDB等于( ) A.20°B.25°C.30°D.40° 4.如图,等腰直角三角形ABC中,AB=AC=8,O为BC的中点,以O为圆心作半圆,使它与AB,AC 都相切,切点分别为D,E,则⊙O的半径为( ) A.8 B.6 C.5 D.4 5.如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于点G,直线EF与⊙O相切于点D,则下列结论中不一定正确的是( ) A.AG=BG B.AB∥EF C.AD∥BC D.∠ABC=∠ADC 二、填空题 6.如图,在⊙O中,弦AB=OA,P是半径OB的延长线上一点,且PB=OB,则PA与⊙O的位置关系是_________. 7.如图,△ABC的一边AB是⊙O的直径,请你添加一个条件,使BC是⊙O的切线,你所添加的条件为________________. 8.如图,AB是⊙O的直径,O是圆心,BC与⊙O切于点B,CO交⊙O于点D,且BC=8,CD=4,那么⊙O的半径是______. 9. 如图,若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D,则∠C=_______度.

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