(A) 1 (B)21-
(C) 45- (D) 8
13- （4）若d c b a ,,,都是实数，且d c >，则“b a >”是“d b c a ->-”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件 （5）下列命题中正确的是
（A ）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 （B ）过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直 （C ）平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面β （D ）若直线l 不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l 垂直的直线 （6）已知函数2()cos ()26
x f x π
=+
，()sin 2g x x =.设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，则0()g x 的值为
（A ）
12 （B ）1
2
- （C
（D
）（7）已知点P 的坐标(,)x y 满足2600290x y x y x y +-≥??-≤??+-≤?
，过点P 的直线l 与圆22
:25C x y +=相交于A 、B 两
点，则||AB 的最小值为
(A) 172 (B) 72 (C) 24 (D)
5
11
4 （8）E D C B A ,,,,这5名学生参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所学校，每校至少一
人参加，则A 学生参加甲高校且B 学生参加乙高校考试的概率为 (A)
15031 (B) 809 (C) 54019 (D) 150
19
（9）定义在),1(+∞上的函数()f x 满足下列两个条件：
⑴对任意的),1(+∞∈x 恒有(2)2()f x f x =成立； ⑵当(1,2]x ∈ 时，()2f x x =-； 记函数=)(x g )1()(--x k x f ，若函数)(x g 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 (A) [)2,1 (B) ??????2,34 (C) ??????2,34
(D) ??
? ??2,34
（10）定义函数()[[]]f x x x =?，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，
如：[][]23.1,15.1-=-=，当[))(,0*N n n x ∈∈时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数为n a ，则式子
90
n a n
+的最小值为 (A)13 (B) 10 (C) 9 (D) 7 二．填空题（本大题共7小题，每小题4 分，共28分）
（11）某校高三年级共有500名学生，其中男生300名，女生200名，为了调查学生的复习情况，采用分
层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则样本中女生的人数为 （12）如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是 .
（13）若对任意实数x ，有5522105)2()2()2(-++-+-+=x a x a x a a x ，
则5310a a a a +++=
（14）红队队员甲、乙、丙分别与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A,乙对B,丙对C 各一局，已知
甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为2
1
,21,
53，若各局比赛结果相互独立，用X 表示红队队员获胜的总局数，则X 的数学期望=EX
（15）已知平面向量βα,，c 满足1||||==βα，向量α与αβ-的夹角为?120，
且,0)()(=-?-c c βα则||c 的取值范围是
(16) 已知M 是双曲线)0(122
22>>=-b a b
y a x 上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于双曲线的焦点
F ，圆M 与y 轴相交于Q P ,两点.若PQM ?为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围
为 ．
(17) 已知,x y R ∈，则2
2)2()(y
x y x -
++的最小值为
三．解答题（本大题含5个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
(18) (本题满分14分)
如图，在ABC ?中，已知3
π
=
B ，32=A
C ，
D 为BC 边上一点．
（Ⅰ）若32=?ABC S ，求BC 的长；
(Ⅱ) 若AD AB =，试求ADC ?的周长的取值范围．
(19) (本题满分14分)
已知数列{}n a 的首项14a =，且当2n ≥时， 11440n n n a a a ---+=，数列{}n b 满足
12n n
b a =
- ()n N *
∈ （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求{}n b 的通项公式； (Ⅱ) 若)6(4
-?=n b n na c n
（1,2,3...n =）
，如果对任意*n N ∈，都有21
22
n c t t +≤，求实数t 的取值范围.
(20)(本题满分14分)
如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，
60ABC ∠= ，E 是BC 的中点，F 为线段PC 上一点．
（Ⅰ）求证：AE PD ⊥；
（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的 正切值为
27，若二面角E AF C --的余弦值为13133，求PC
PF 的值。
(21)(本题满分15分)
已知椭圆13
4:221=+y x C ，
抛物线x y C 4:2
2=，过椭圆1C 右顶点的直线l 交抛物线2C 于B A ,两点，射线OB OA ,分别与椭圆交于点E D ,,点O 为原点. （Ⅰ）求证:点O 在以DE 为直径的圆的内部;
（Ⅱ）记OAB ODE ??,的面积分别为21,S S ,问是否存在直线l 使?312S S =若存在,求出直线l 的方
程,若不存在,请说明理由.
（22）（本小题满分15分）
已知函数()ln f x x =，2
1()(0)2
g x ax bx a =
+≠. （Ⅰ）若2b =，且函数()()()h x f x g x =-存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）设函数()y f x =的图象1C 与函数()y g x =的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的
垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，试判断1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线是否平行，并
给出证明.
参考答案
一．选择题
1~5 ACCBB 6~10 DBDCA 二、填空题
11. 40
12. π 13.153 14. 8
5
15.
16.
17. 8 21.解：（1）设直线2:+=my x l ，代人x y 42=得0842
=--my y 设),(),,(2211y x B y x A 8,42121-==+y y m y y
044)(2)1(21212
2121<-=++++=+y y m y y m y y x x
（2）设),(),,(4433y x E y x D ，射线x y y OA 14:=，代人13422=+y x 得64
3364212
3+?=y y ，同理64
33642
22
4+?=
y y
33119121948121||||||||1222
43
21212>≥?≥+=???? ??=???? ??S S m y y y y S S ， 故不存在满足条件的直线l
22.解：（1）(1,0)(0,)-?+∞
（2）不平行
设点P 、Q 的坐标分别是112212(,),(,)(0)x y x y x x <<，则,M N 的横坐标为
12
2
x x + ∴1C 在点M 处切线的斜率是112
2
k x x =
+
2C 在点N 处切线的斜率是122()
2
a x x k
b +=
+ 假设切线平行，则
1212()22
a x x
b x x +=++
即
2
22121212121122()()()ln ln 2
x x a x x b x x y y x x x x -=-+-=-=-+
2
21211
2(
1)
ln 1x x x x x x -∴=+，令21x t x =，则2(1)
ln ,11t t t t -=>+ ① 令2(1)
()ln ,11t r t t t t
-=->+则22
(1)'()(1)t r t t t -=+ 1'()0t r t >∴> ()r t ∴在[1,)+∞上单调递增
故2(1)
()(1)0,ln 1
t r t r t t ->=>+与①式矛盾 所以假设错误
数学IB 模块试题
“数学史与不等式选讲”模块
已知,,a b c
为正实数，且,,a b c ∈. （Ⅰ）证明：22112
173
a a +≥
--；
+
.
解：（1）
222222211662
1717(1)(7)3()
2
a a a a a a +=≥=-+-----
等号当且仅当2a =时成立； （2）由柯西不等式知：
+
≥
≥
222222
9
1171717222
a b b c c a =-+--+--+-++
等号当且仅当2a b c ===时成立.
“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块
已知直线的极坐标方程为sin()4
π
ρθ+
=
M 的参数方程为2cos (22sin x y θθθ=??=-+?
为参数).
（Ⅰ）求圆M 上的点到直线的距离的最小值；
（Ⅱ）若过点(2,0)C 的直线l 与圆M 交于A 、B 两点，且CA AB =
，求直线l 的斜率.
解：（1）圆M 的普通方程为2
2
(2)4x y ++=，圆心(0,2)M -到直线10x y +-=的距离
d =
∴圆M
2. （2）设直线l 的参数方程是2cos (sin x t t y t θ
θ=+??
=?
为参数)，代入圆M 的方程得： 2(4cos 4sin )40t t θθ+++=
由t 的几何意义及CA AB =
知，122t t =且124cos 4sin t t θθ+=--，124t t =
结合几何图形知，0t <
122t t ∴==-
4cos 4sin θθ∴--=-
即cos sin θθ+=1
sin cos 16
θθ=
tan 4θ∴=±
∴直线l的斜率是4±.
