无锡市市北高中2014届高三期初考试
数学试卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题
线上．） 1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}1,2,4B =，则()U C A B ?= ． 答案：{}3,5
2．函数y sin cos x x ππ=的最小正周期是 ． 答案：1
3．2
(2)(1)12i i i ++=- ．
答案：－2
4．在等差数列{}n a 中，若392712a a a ++=，则13a = ． 答案：4
5．若正实数x ，y 满足26xy x y =++ ，则xy 的最小值是 ． 答案：18
6． 若方程24x x +=的解所在区间为[m , m +1](m ∈Z ), 则m = . 答案：1
7． 设x ?∈R ，函数2lg(43)y mx mx m =-++有意义, 实数m 取值范围 . 答案：[0,1)
8．已知a 、b 、c 都是单位向量，且a b c += ，则a c ?
的值为 ．
答案：
12
9．已知函数()sin 2cos 2f x x m x =+的图象关于直线8
x π
=，则f(x)的单调递增区间
为 ． 答案：3[,]()88
k k k Z ππ
ππ-
+∈ 10．椭圆中有如下结论：椭圆22
221x y a b +=上斜率为1的弦的中点在直线0b
y a x 22=+上，类比上述结论得到
正确的结论为：双曲线22
221x y a b
-=上斜率为1的弦的中点在直线 上．
答案：
22
x y
0a b -= 11．设1
, 18()186 18
x x f x x x -?≠?=-??-=?则(1)(2)(35)f f f +++ 的值为 ．
答案：28
12．函数x x x f ln )(=在区间)0](1,1[>+t t 上的最小值为_________．
答案：0
13．已知ABC ?是边长为4的正三角形，D 、P 是ABC ?内部两点，且满足
11(),48
AD AB AC AP AD BC =+=+
，则APD ?的面积为 ．
答案：
3
4
14.已知函数2
()|6|f x x =-，若0a b <<,且()()f a f b =，则2
a b 的最小值是 . 答案： -16
二、解答题：（本大题共6小题，共90分将解答过程写在答卷纸上相应的位置） 15．(本题满分14分)
如图，正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点. （Ⅰ）求证: AD ⊥平面11BCC B ；
（Ⅱ）求证:1
AC 平面1AB D .
证:（Ⅰ）因为ABC ?是正三角形,而D 是BC 的中点，所以
AD BC ⊥……………3分
又BC 是两个相互垂直的平面ABC 与面11BCC B 的交线,且
AD ABC ?面,所以11AD BCC B ⊥面……………………………… 7分
（Ⅱ）连接1A B ,设11AB A B E = ,则E 为1A B 的中点,连接DE ,由D 是BC 的中点, 得DE AC ………11分
又1DE AB D ?面,且11AC AB D ?面,所以1
AC 平面1AB D ………14分
第15题
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
16．（本题满分14分）
已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==
．
（1）若6
π
αβ-=
，求a b ?
的值；
（2）若4,58
a b π
α?== ，求tan()αβ+的值．
解：（1）∵)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a
∴2
3
6
cos )cos(
=
=-=?π
βαb a …………………………………………5分 （2）∵54=
?b a ∴433cos(),sin(),tan()554
αβαβαβ-=-=±-=± …………………………………………7分
)(4
)(2βαπ
βααβα--=
--=+ ……………………………………9分
∴)](4
tan[)tan(βαπ
βα--=+)tan(1)tan(1βαβα-+--=
431431+-
=
或43143
1-+71=或7 ………………………………14分
17．(本题满分14分)
如图，在ABC ?中，BC 边上的中线AD 长为3，且10cos 8B =，1cos 4
ADC ∠=-． （Ⅰ）求sin BAD ∠的值； （Ⅱ）求AC 边的长．
解:（Ⅰ）因为10cos 8
B =
，所以36
sin 8B =…………2分
又1
cos 4
ADC ∠=-
,所以15sin 4ADC ∠=…………… 4分
所以sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠
15101366
()48484
=
?--?=………………………7分 A
D
B C
第16题
A
B
C
D
M
N P
（Ⅱ）在ABD ?中,由正弦定理,得
sin sin AD BD
B BAD =
∠,即3366
84
BD =,解得2BD =……………10分
故2DC =,从而在ADC ?中,由余弦定理,得2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-?∠ =22132232()164
+-???-=,所以4AC =……………………14分
18．（本题满分16分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求
M 在AB 的延长线上，N 在AD 的延长线上，且对角线MN 过C 点。已知AB=3米，AD=2米。 （1）设x AN =（单位：米），要使花坛AMPN 的面积大于32平方米，求x 的取值范围； （2）若)4,3[∈x （单位：米），则当AM ，AN 的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？
并求出最大面积。 解：由于
,AM
DC
AN DN =则AM ＝
32x x - 故S AMPN ＝AN ?AM ＝2
32x x - …………4分
（1）由S AMPN > 32 得 2
32
x x - > 32 ，
因为x >2，所以2332640x x -+>，即（3x －8）（x －8）> 0 从而8
283
x x <<
> 或
即AN 长的取值范围是8(2)(8)3
∞ ，，+…………8分
（2）令y ＝2
32x x -，则y′＝2226(2)334)(2)(2)x x x x x x x ---=--（ ………… 10分
因为当[3,4)x ∈时，y ′< 0，所以函数y ＝2
32x x -在[3,4)上为单调递减函数，
从而当x ＝3时y ＝2
32
x x -取得最大值，即花坛AMPN 的面积最大27平方米，
此时AN ＝3米，AM=9米 (15)
19．（本题满分16分） 设二次函数2
()f x ax bx c =++在区间[]2,2-上的最大值、最小值分别是
M 、m ，集合{}|()A x f x x ==．
（1）若{1,2}A =，且(0)2f =，求M 和m 的值；
（2）若{1}A =，且1a ≥，记()g a M m =+，求()g a 的最小值． 解：（1）由(0)22f c ==可知，……………………………1分
又{}2A 1212(1)0.ax b x c =+-+=，
，故，是方程的两实根 1-b 1+2=a ,c 2=a
?
??∴????…………………3分 1,2a b ==-解得…………4分 []22()22(1)1,
2,2f x x x x x ∴=-+=-+∈-
min 1()(1)1,1x f x f m ====当时，即……………………………5分 max 2()(2)10,10.x f x f M =-=-==当时，即……………………………6分
（2）2(1)0ax b x c +-+=由题意知，方程有两相等实根x=2, x =1
∴ ???
????=
?-=+a c a b 11111， 即???=-=a c a b 21 ……………………………8分
∴f （x ）=ax 2+（1–2a ）x + a , x ∈[–2,2] 其对称轴方程为x =
=
-a a 214-1a
21
又a ≥1，故1–
??
?
???∈1,2121a ……………………………9分 ∴M=f （–2）=9a – 2 …………………………10分
m =a
a a f 41
1)212(
-
=- ……………………………11分 g （a ）=M+m =9a –a
41
–1 ……………………………14分
[)min 63
()1,1().4g a a g a +∞∴==
又在区间上为单调递增的，当时，=4
31 ………16分
20．（本题满分16分）已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(2
1
-++=n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式
③设数列?
??
???+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立？若
存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由。 解：①∵1)1)(1(2
1
-++=n n a n S []1111112121111
(2)(1)1(2)(1)(1)(1)22
(1)1(1)(2)1
(1)(2)(1)n n n n n n n n n n n n n n n
S n a a S S n a n a na n a n a n a n a na n a n a +++++++++++∴=
++-∴=-=++-++=+-∴+=+-∴+-=+-+整理得， 12122(1)(1)()2n n n n n n n a n a a a a a ++++∴+=++∴=+
∴数列{}n a 为等差数列。
②1)1(311-+==+n n a n na a ，21212152a a a a ∴=-=∴-=即公差为2
1(1)3(1)221n a a n d n n ∴=+-=+-?=+
③)32)(12(111++=+n n a a n n
11122123n n ??=-
?++??
11111111111()()23557212323236
n n T n N T n n n *∴=-+-++-=-∈<+++ 又当时，
要使得M T n ≤对一切正整数n 恒成立，只要M ≥
6
1
， 所以存在实数M 使得M T n ≤对一切正整数n 都成立，M 的最小值为6
1。