初中数学竞赛辅导资料（17）
奇数 偶数
内容提要
1． 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，0－2…，不能被2整除的整数是奇数，如－1，1，3。
如果n 是整数，那么2n 是偶数，2n －1或2n+1是奇数。如果n 是正整数，那么2n 是正偶数，2n-1是正奇数。
2． 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为：
整数?
??偶数奇数
或 整数集合 就不是整数。
3． 奇数偶数的运算性质：
奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数 奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数 奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数， 两个連续整数的和是奇数，积是偶数。 例题
例1 求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数 证明：设k 为整数，那么2k －1是任意奇数， （2k －1）2－1＝4k 2－4k ＋1－1＝4k(k －1)
∵k(k －1)是两个連续整数的积，必是偶数 ∴4k(k －1)是8的倍数 即任意奇数的平方减去1是8的倍数 例2 已知：有n 个整数它们的积等于n ，和等于0
求证：n 是4的倍数
证明：设n 个整数为x 1,x 2,x 3,…x n 根据题意得
?
??
?=++++=②①
0321321n n x x x x n x x x x 如果n 为正奇数，由方程（1）可知x 1,x 2,x 3,…x n 都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的0，所以n 一定是偶数；
当n 为正偶数时，方程（1）左边的x 1,x 2,x 3,…x n 中，至少有一个是偶数，而要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2个。
所以n 是4的倍数。
例3己知：a,b,c 都是奇数
求证：方程ax 2+bx+c=0没有整数解
证明：设方程的有整数解x ，若它是奇数，这时方程左边的ax 2，bx ，c 都是奇数，而右边0是偶数，故不能成立；
若方程的整数解x 是偶数，那么ax 2,bx,都是偶数，c 是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于0。
既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，
∴方程ax 2+bx+c=0没有整数解 (以上的证明方法是反证法) 例4求方程x 2－y 2＝60的正整数解 解：(x+y)(x －y)=60，
60可分解为：1×60，2×30，3×20，4×15，5×12，6×10 左边两个因式(x+y)，(x －y)至少有一个是偶数
因此x, y 必湏是同奇数或同偶数，且x>y>0,适合条件的只有两组
??=-=+230y x y x ??
?=-=+6
10
y x y x 解得??
?==14
16y x ??
?==2
8y x
∴方程x 2
－y 2
＝60的正整数解是???==1416y x ?
??==28y x
练习17 1． 选择题
①设n 是正整数，那么n 2
+n-1的值是（ ）
（A ）偶数（B ）奇数（C ）可能是奇数也可能是偶数
②求方程85x －324y=101的整数解，下列哪一个解是错误的？（ ） （A ）??
?==1
5y x （B ）??
?==86
329y x （C ）??
?==171
653y x （D ）??
?==256
978y x
2． 填空：
①能被3，5，7都整除的最小正偶数是＿＿＿
②能被9和15整除的最小正奇数是＿＿最大的三位数是＿＿
③1＋2＋3＋…＋2001＋2002的和是奇数或偶数？答＿＿ ④正整数1234…20012002是奇位数或偶位数？答＿＿
⑤
位
n 01100能被11整除，那么n 是正奇数或正偶数？答＿＿ 3． 任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？
4． 试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由 5． 求证：两个連续奇数的平方差能被8整除
6． 试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数 7． 求方程（2x －y －2）2＋（x+y+2）2=5的整数解 8． 方程19x+78y=8637的解是( )
(A)???==9178y x (B)???==9284y x (C)???==9388y x (D)?
??==9181y x
9. 十进制中，六位数8719ab 能被33整除，求a,b 的值
初中数学竞赛辅导资料（18）
整式的整除
内容提要
1． 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。
2． 根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式， 那么 式的整除的意义可以表示为：
若f(x)＝p(x)×q(x)， 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除 例如∵x 2
－3x －4＝（x －4）（x +1）,
∴x 2－3x －4能被（x －4）和（x +1）整除。 显然当 x=4或x=－1时x 2－3x －4＝0， 3． 一般地，若整式f(x)含有x –a 的因式，则f(a)=0 反过来也成立，若f(a)=0,则x －a 能整除f(x)。
4． 在二次三项式中
若x 2+px+q=(x+a)(x+b)＝x 2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab
在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。 例题
例1己知 x 2－5x+m 能被x －2整除，求m 的值。 x －3 解法一：列竖式做除法 （如右） x －2 x 2－5x+m 由 余式m －6＝0 得m=6 x 2
－2x 解法二：∵ x 2
－5x+m 含有x －2 的因式 －3x+m ∴ 以x=2代入 x 2－5x+m 得 －3x+6 22
－5×2 ＋m=0 得m=6 m －6 解法三：设x 2－5x+m 除以x －2 的商是x+a (a 为待定系数)
那么 x 2－5x+m ＝(x+a)(x －2)＝ x 2+(a-2)x －2a 根据左右两边同类项的系数相等，得
??
?=--=-m a a 252 解得?
??=-=63
m a （本题解法叫待定系数法） 例2 己知:x 4－5x 3+11x 2+mx+n 能被x 2
－2x+1整除 求：m 、n 的值及商式
解：∵被除式＝除式×商式 （整除时余式为0）
∴商式可设为x 2+ax+b
得x 4－5x 3+11x 2+mx+n ＝（x 2－2x+1）（x 2+ax+b ）
＝x 4+(a-2)x 3+(b+1-2a)x 2+(a-2b)x+b 根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得 ???????==-=-+-=-n b m b a a b a 12112152 解得???
????=-==-=4113n m n b a ∴m=－11, n=4, 商式是x 2－3x+4
例3 m 取什么值时，x 3+y 3+z 3+mxyz (xyz ≠0)能被x+y+z 整除?
解：当 x 3+y 3+z 3+mxyz 能被x+y+z 整除时，它含有x+y+z 因式 令x+y+z ＝0，得x=－（y+z ），代入原式其值必为0 即［－（y+z ）］3+y 3+z 3－myz(y+z)=0
把左边因式分解，得－yz(y+z)(m+3)=0,
∵yz≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立
∴当x,y（或y,z或x,z）互为相反数时，m可取任何值，
当m=－3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。
例4分解因式x3－x+6
分析：为获得一次因式，可用x=±1，±2，±3，±6（常数项6的约数）代入原式求值，只有x=－2时值为0，可知有因式x＋2，（以下可仿例1）
解：x3－x+6＝（x＋2）（x2－2x+3）
练习18
1．若x3+2x2+mx+10=x3+nx2－4x+10, 则m=___, n=___
2．x3－4x2+3x+32除以x+2的余式是＿＿＿，
x4－x2+1除以x2－x－2的余式是＿＿＿
3．己知x3+mx+4能被x+1整除，求m
4．己知x4+ax3+bx－16含有两个因式x－1和x –2,求a和b的值
5．己知13x3+mx2+11x+n能被13x2－6x+5整除,求m、n及商式
6．己知ab≠0,m取什么值时，a3－6a2b+mab2-8b3有因式a－2b.
7．分解因式：①x3-7x+6, ②x3-3x2+4, ③x3-10x-3
8.选择题
①x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是（）
(A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z)
(c) (x-y)(y-z)(x+z)(D) (x-y)(y+z)(x+z)
②n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数)，对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是（）
（A）p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15.
初中数学竞赛辅导资料（19）
因式分解
内容提要和例题
我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法
1． 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式
例1因式分解：①x 4+x 2+1 ②a 3+b 3+c 3
－3abc ①分析：x 4+1若添上2x 2可配成完全平方公式
解：x 4
+x 2
+1＝x 4
+2x 2
+1－x 2
=(x 2
+1)2
－x 2
=(x 2
+1+x)(x 2
+1－x) ②分析：a 3+b 3要配成（a+b ）3应添上两项3a 2b+3ab 2
解：a 3+b 3+c 3－3abc ＝a 3+3a 2b+3ab 2＋b 3+c 3－3abc －3a 2b －3ab 2
＝（a+b ）3+c 3
－3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2
－(a+b)c+c 2
］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a 2
+b 2
+c 2－ab －ac －bc) 例2因式分解：①x 3－11x+20 ② a 5+a+1
① 分析：把中项－11x 拆成－16x+5x 分别与x 5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平
方数） ② 解：x 3
－11x+20＝x 3
－16x+5x+20＝x （x 2
－16）+5(x+4)
=x(x+4)(x －4)+5(x+4) =(x+4)(x 2－4x+5)
③ 分析：添上－a 2
和a 2
两项，分别与a 5
和a+1组成两组，正好可以用立方差公式 解：a 5
+a+1＝a 5
－a 2
+a 2
+a+1=a 2
(a 3
－1)+ a 2
+a+1
=a 2(a －1)( a 2+a+1)+ a 2+a+1= (a 2+a+1)(a 3－a 2+1)
2． 运用因式定理和待定系数法
定理：⑴若x=a 时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x －a
⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。 例3因式分解：①x 3－5x 2+9x －6 ②2x 3－13x 2+3
①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除
法或待定系数法，求另一个因式。
解：∵x=2时，x 3－5x 2+9x －6＝0，∴原式有一次因式x －2， ∴x 3
－5x 2
+9x －6＝（x －2）（x 2
－3x+3,）
②分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数 ±1，±3得商±1，±2，±2
1，±
2
3，再分别以这些商代入原式求值，
可知只有当x=2
1时，原式值为0。故可知有因式2x-1
解：∵x=
21时，2x 3－13x 2+3＝0，∴原式有一次因式2x －1，
设2x 3－13x 2+3＝（2x －1）（x 2+ax －3）， （a 是待定系数） 比较右边和左边x 2
的系数得 2a －1＝－13， a=－6 ∴2x 3－13x+3＝（2x －1）（x 2－6x －3）。 例4因式分解2x 2
+3xy －9y 2
+14x －3y+20
解：∵2x 2+3xy －9y 2＝（2x －3y ）(x+3y), 用待定系数法，可设
2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20＝（2x －3y ＋a ）（x+3y ＋b ），a,b 是待定的系数， 比较右边和左边的x 和y 两项 的系数，得
??
?-=-=+3
33142b a b a 解得
5
4==b a
∴2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20＝（2x －3y+4）(x+3y+5)
又解：原式＝2x 2
+(3y+14)x －(9y 2+
3y －20) 这是关于x 的二次三项式 常数项可分解为－（3y －4）（3y+5）,用待定系数法，可设
2x 2+(3y+14)x －(9y 2+
3y －20)＝［mx －（3y －4）］［nx+（3y+5）］ 比较左、右两边的x 2和x 项的系数，得m=2, n=1 ∴2x 2+3xy －9y 2
+14x －3y+20＝（2x －3y+4）(x+3y+5)
练习19 1．
分解因式：①x 4+x 2y 2+y 4 ②x 4+4 ③x 4－23x 2y 2+y 4 2. 分解因式： ①x 3+4x 2－9 ②x 3－41x+30
③x 3+5x 2－18 ④x 3－39x －70
3. 分解因式：①x 3
+3x 2
y+3xy 2
+2y 3
②x 3－3x 2
+3x+7 ③x 3－9ax 2+27a 2x －26a 3 ④x 3+6x 2+11x+6 ⑤a 3
+b 3
+3(a 2
+b 2
)+3(a+b)+2
4. 分解因式：①3x 3
－7x+10 ②x 3
－11x 2
+31x －21
③x 4－4x+3 ④2x 3－5x 2+1
5. 分解因式：①2x 2
－xy －3y 2
－6x+14y －8 ②（x 2
－3x －3）（x 2
+3x+4）－8
③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48 ④（2x －7）(2x+5)(x 2－9)－91 6．分解因式： ①x 2y 2+1－x 2－y 2+4xy ②x 2－y 2+2x －4y －3
③x 4+x 2－2ax －a+1 ④（x+y ）4+x 4+y 4
⑤（a+b+c ）3－（a 3+b 3+c 3）
7. 己知：n 是大于1的自然数 求证：4n 2+1是合数 8．己知：f(x)=x 2+bx+c, g(x)=x 4+6x 2+25, p(x)=3x 4+4x 2+28x+5 且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式
求：当x=1时，f(x)的值
初中数学竞赛辅导资料（20）
代数恒等式的证明
内容提要
证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种
1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。 2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边， 例题 例1求证：3
n+2
－2
n ＋2
＋2×5
n+2
＋3 n －2 n ＝10（5
n+1
+3 n －2
n-1
）
证明：左边＝2×5×5 n+1
＋（3 n+2
+3 n
）＋（－2 n+2
－2 n
）
＝10×5 n+1＋3 n (32+1)－2 n-1(23＋2) ＝10（5 n+1+3 n －2 n-1）=右边
又证：左边＝2×5 n+2＋3 n （32＋1）－2 n (22+1) ＝2×5 n+2
＋10×3 n
－5×2 n
右边＝10×5 n+1+10×3 n －10×2 n-1 ＝2×5
n+2＋10×3 n －5×2 n
∴左边＝右边
例2 己知:a+b+c=0 求证：a 3+b 3+c 3=3abc
证明：∵a 3
+b 3
+c 3
－3abc ＝（a+b+c ）（a 2
+b 2
+c 2
－ab －ac －bc ）(见19例1)
∵:a+b+c=0 ∴a 3+b 3+c 3－3abc ＝0 即a 3+b 3+c 3=3abc
又证：∵:a+b+c=0 ∴a=－（b+c ） 两边立方 a 3=－（b 3+3b 2c+3bc 2+c 3） 移项 a 3＋b 3+c 3＝－3bc(b+c)＝3abc 再证：由己知 a=－b －c 代入左边,得
（－b －c ）3
+ b 3
+c 3
＝－（b 3
+3b 2
c+3bc 2
+c 3
）+b 3
+c 3
＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc 例3 己知a+
a
c c b b 111+=+=,a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1 证明：由己知a-b=
bc
c b b c -=
-11 ∴bc=
b
a c
b --
b-c=
ca a
c c
a
-=
-
11 ∴ca=c b a
c -- 同理ab=a
c b a --
∴ab bc ca ＝
a c
b a --b a
c b --c
b a
c --＝1 即a 2b 2c 2=1
例4 己知:ax 2
+bx+c 是一个完全平方式（a,b,c 是常数）求证：b 2－4ac=0 证明：设:ax 2
+bx+c ＝（mx+n ）2
， m,n 是常数
那么:ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2
根据恒等式的性质 得?????===222n
c mn b m a ∴: b 2－4ac ＝（2mn ）2－4m 2n 2
=0
练习20
1． 求证： ①(a+b+c)2
+(a+b-c)2
－(a-b-c)2
－(a-b-c)2
＝8ab
②（x+y ）4+x 4+y 4=2(x 2+xy+y 2)2 ③(x-2y)x 3－(y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24(5 n +3 n-1) ⑤a 5n +a n +1=(a 3 n －a 2 n +1)(a 2 n +a n +1) 2.己知：a 2
+b 2
=2ab 求证：a=b 3.己知：a+b+c=0
求证：①a 3
+a 2
c+b 2
c+b 3
=abc ②a 4
+b 4
+c 4
=2a 2b 2
+2b 2c 2
+2c 2a 2
4.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+3
5.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3
+8y 3
=z 3
－6xyz 6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c
7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：（a+b+c ）2
+a 2
+b 2
+c 2
=2(a+b+c)(a+c) 8.己知：abc ≠0，ab+bc=2ac 求证：c
b b a 1111-=-
9．己知：
a
c z c
b y b
a x -=
-=
- 求证：x+y+z=0
10.求证：（2x －3）（2x+1）(x 2－1)＋1是一个完全平方式 11己知：ax 3
+bx 2
+cx+d 能被x 2
+p 整除 求证：ad=bc
初中数学竞赛辅导资料（21）
比较大小
内容提要
1． 比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。根据不等式的性质： 当a －b ＞0时，a ＞b ； 当a －b ＝0时，a=b ； 当a －b ＜0时a ＜b 。
2． 通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号。 3． 需要讨论的可借助数轴，按零点分区。
4． 实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若a 是实数，则a 2≥0，
由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等式）。诸如 (a －b)2≥0， a 2+1＞0， a 2+a+1=(a+
2
1)2+
4
3＞0
－a 2
≤0， －（a 2
+a+2）＜0 当a ≠b 时，－（a －b ）2
＜0
例题
例1 试比较a 3与a 的大小 解：a 3－a=a(a+1)(a －1) a 3－a=0,即a 3=a
以－1，0，1三个零点把全体实数分为4个区间，由负因数的个数决定其符号： 当a ＜－1时，a+1＜0,a ＜0,a －1＜0（3个负因数）∴a 3－a ＜0 即a 3＜a 当－1＜a ＜0时 a ＜0,a －1＜0（2个负因数） ∴a 3
－a ＞0 即a 3
＞a 当0＜a ＜1时， a －1＜0（1个负因数） ∴a 3
－a ＜0 即a 3
＜a 当a ＞1时，没有负因数， ∴a 3－a ＞0 即a 3＞a 综上所述当a=0,－1，1时， a 3
=a
当a ＜－1或0＜a ＜1时，a 3＜a
当－1＜a ＜0或a ＞1时，a 3＞a 。 （试总结符号规律）
例2 什么数比它的倒数大？
解：设这个数为x ，则当并且只当x －
x
1＞0时，x 比它的倒数大，
x －x
1＝
x
x x x
x )
1)(1(12
-+=
-
－1 0 1
以三个零点－1，0，1把实数分为4个区间，由例1可知 当x ＞1或－1＜x ＜0时，x 比它的倒数大。
例3 己知步行的速度是骑车速度的一半，自行车速度是汽车速度的一半，甲、乙两人同时从A 去B ，甲乘汽车到中点，后一半用歩行，乙全程骑自行车，问誰先到达？
解：设从A 到B 有x 千米，步行速度每小时y 千米，那么甲、乙走完全程所用时间分别是t 甲＝y
x
y x
y x
85242=+，
t 乙＝
y
x 4
t 甲－t 乙＝
y
x y
x y
x 83485=
-
∵x ＞0，y ＞0 ∴t 甲－t 乙＞0
答：乙先到达B 地
例4己知a ≠b ≠c ，求证：a 2+b 2+c 2
＞ab+bc+ca 证明：a 2
+b 2
+c 2
－ab+bc+ca ＝
2
1×2（a 2+b 2+c 2
－ab+bc+ca ）＝
2
1（2a 2+2b 2+2c 2
－2ab+2bc+2ca ）
＝
2
1［（a-b ）2+(b-c)2+(c-a)2］
∵a ≠b ≠c ，（a-b ）2
＞0，(b-c)2＞0，(c-a)2＞0
∴a 2+b 2+c 2
＞ab+bc+ca
又证：∵a ≠b ，∴（a-b ）2＞0 a 2+b 2＞2ab(1)
同理b 2+c 2＞2bc(2) c 2+a 2
>2ca(3)
(1)+(2)+( 3)得2a 2+2b 2+2c 2＞2ab+2bc+2ca 即a 2+b 2+c 2＞ab+bc+ca 例5 比较 3（1＋a 2+a 4）与(1+a+a 2)2的大小
解：3（1＋a 2+a 4）－(1+a+a 2)2＝3［（1＋a+a 2）2-2a-2a 2-2a 3］－(1+a+a 2)2
＝2(1+a+a 2)2－6a(1＋a+a 2) =2(1＋a+a 2)( 1＋a+a 2-3a)=2(1＋a+a 2)(1-a)2
∵1＋a+a 2＝（
4
3)212
+
+a ＞0， (1-a)2≥0
∴当a=1时，3（1＋a 2+a 4）＝(1+a+a 2)2 当a ≠1时，3（1＋a 2+a 4）＞(1+a+a 2)2
例6 解方程 4212=-++x x 解：以－0.5,和2两个零点分为3个区间
当x<-0.5时，－(2x+1)－(x-2)=4, 解得x=－1 当－0.5≤x<2时，（2x+1）－（x-2）=4, 解得x=1 当x ≥2时，（2x+1）+(x －2)＝4 解得x=3
5, ∴在x ≥2范围无解
综上所述原方程有两个解x=－1, x=1
练习21
1． 己知a>0,b<0,且a+b<0. 试把a,b,0及其相反数记在数轴上。并用“＜”号把它们连接。 2． 比较下列各组中的两个数值的大小：
①a 4与a 2 ②
1
+a a 与
2
1+-a a
3． 什么数的平方与立方相等？什么数的平方比立方大？
4． 甲乙两人同时从A 去B ，甲一半路程用时速a 千米，另一半路程用时速b 千米；乙占总时间的一半用
时速a 千米,另一半时间用时速b 千米,问两人誰先到达？ 5． 己知 a>b>c>d>0且a ∶b=c ∶d ， 试比较a+c 与b+d 的大小
6． 己知a
7． 己知a
8． 己知a ① b a 11> ②ab<1 ③ 1 a ④a －2b<0 9.若a,b,c 都是大于－1的负数，（即－1＜a,b,c<0下列不等式哪些不能成立？试各举一个反例。 ①a+b －c>0 ②(abc)2 >1 ③a 2 -b 2 -c 2 <0 ④abc>-1 10.水池装有编号为①②③④⑤的5条水-管，其中有的是进水管，有的是出水管，同时开放其中的两条水管，注满水池所用的时间列表如下 问单独开放哪条水管能最快注満水池？答：＿＿＿ （1989年全国初中数学联赛题） 初中数学竞赛辅导资料（22） 分式 内容提要 1． 除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。 (1)分式 B A 中，当 B ≠0时有意义；当A 、B 同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立。分子、分母都 化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。 (2)若A 、B 及 B A 都是整数，那么A 是 B 的倍数，B 是A 的约数。 (3)一切有理数可用B A 来表示，其中A 是整数， B 是正整数，且A 、B 互质。 2． 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便。 例题 例1．x 取什么值时，分式 x x x x 23222 +--的值是零？是正数？是负数？ 解： x x x x 2322 2 +--＝) 2()3)(1+-+x x x x （ 以零点－2，－1，0，3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图） 当x=－1,x=3时分子是0，分母不等于0，这时分式的值是零； 当x<－2, －1 72-+m m 的值是正整数？ 解： 1 72-+m m ＝ 1 922-+-m m ＝2＋19 -m 当例3．计算 1 4++x x ＋ 3 2--x x － 1 2-+x x － 3 4++x x 1 9-m ＞－2且m －1是9的约数时，分式的值是正整数 即m －1＝1，3，9，－9 解得m=2,4,10,－8。 答：（略） 解：用带余除法得，原式＝1＋ 1 3+x ＋1＋ 3 1-x －1－ 1 3-x －1－ 3 1+x ＝ ) 1)(1()1(3)1(3-++--x x x x ＋ ) 3)(3()3()3(+---+x x x x ＝1 62 -x －＋ 9 62 -x ＝ ) 9)(1(48 2 2--x x 4．已知（a+b ）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5 求①a ∶b ∶c ②bc c ab a +-2 2 解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加 3 得2（a+b+c ）=12k, 即a+b+c=6k, 分别减上列各式 得a=2k, b=k, c=3k ∴①a ∶b ∶c =2∶1∶3 ② bc c ab a +-22 ＝ k k k k k k 3)3(2)2(2 2 ??-＋＝ 6 1 例5．一个两位数除以它的两个数位上的数字和，要使商为最小值，求这个两位数；如果要使商为最大值呢？ 解：设这个两位数为10x+y ，那么0＜x ≤9, 0≤y ≤9 y x y x ++10＝1＋ y x x +9 当x 取最小值1，y 取最大值9时，分式y x x +9的值最小；当x 取最大值9，y 取最小值0时，分式 y x x +9的 值最大。 答：商为最小值时的两位数是19，商为最大值时的两位数是90。 练习22 1． a=___时，分式 6 22 -+-a a a 的值是0 2． 已知? ??=++=--02022z y x z y x 则分式2 222 22z y x z y x ++--＝＿＿＿＿ 3． 若x 和分式 1 23-+x x 都是整数，那么x=_______________ 4． 直接写出结果: ① x 2 12x ＋ =(x+ x 1)2-______ ②(x 2+ 2 1x +2)÷（x+)1 x =____ ③ （x 2- 2 1x ）÷（x+x 1）=__＿＿ ④（1＋)1 x （1－ )112 x x +＝＿＿＿＿ 5．化简繁分式，并指出字母x 取什么值时它没有意义。 ＋＋ ＋ x 111111 6．x 取什么值时分式 9 22 2 ---x x x 的值是零？是正数？是负数？ 7．计算：① 1 4++x x ＋3 21 43 2++---- --x x x x x x ②4 2 14121111x x x x ++ ++++- ③ 4 102 124 832762 2 2 2 2 -++ --++- ++++x x x x x x x x x x 8．解方程： 6 75 69108 9++- ++= ++- ++x x x x x x x x 124 291 22 3 2 3 -=++-+ +-+x x x x x x x ⑶ 3=--+ --+ --b a c x a c b x c b a x （其中)0111≠++ c b a 9．已知xy ∶yz ∶z x=∶2∶1, 求①x ∶y ∶z ② yz x ∶ zx y 10．已知a ≠b ≠c 且 z b a y a c x c b -= -= - 求证：ax+by+cz=0 11.已知： y x z x z y z y x += += + 求：（x+y ）∶z 的值 12．由三个非零且相异的数字组成的三位数，除以这三个数字和，其商的最小值是多少？ 13．在保证分母不等于0的前提下，分式5 3++bx ax 中的x 不论取什么值分式的值都不变，问a 和b 之间的关 糸应满足什么条件？ 14. 已知p c n b m a == 求证：（a 2+b 2+c 2）(m 2+n 2+p 2)=(am+bn+cp) 2 初中数学竞赛辅导资料(23) 递推公式 内容提要 1． 先看一例：a 1=b,a 2= 1 2a ,a 3=2 2a …… a n+1= n a 2这 a 1,a 2,a 3……a n ,a n+1是对应于正整数1，2，3…… n,n+1 的有序的一列数（右下标的数字表示第几项），这一列数只要给出某一项数值，就可以推出其他各项数值。 例如: 若 a 1=10, 则a 2= 10 2=5 1,a 3=10,a 4=5 1,a 5=10…… 2. 为了计算的方便，通常把递推公式写成以a 1和n 表示a n 的形式，这可用经验归纳法。 例如：把递推公式a n+1=a n +5改为用a 1 和n 来表示 ∵a 2=a 1+5, ∴a 3=a 2+5=(a 1+5)+5=a 1+2×5， a 4=a 3+5=(a 1+2×5)+5=a 1+3×5 …… ∴a n =a 1+(n-1)5 如果 已知a 1=10, 求a 20,显然代入这一公式方便。A 20=10+19×5=105 3.有一类问题它与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法。 例题 例1.已知：a 1=2, a n =a n-1+2(n-1) (n ≥2) 求：a 100的值 解：a 100=a 99+2×99 =a 98+2×98+2×99 =…… =a 1+2×1+2×2+2×3+……+2×98+2×99 =2+2× 2 99 )991(?+=9902 又解：a 2=a 1+2×1 a 3=a 2+2 ×2=(a 1+2×1)+2×2 a 4=a 3+2×3=(a 1+2×1+2×2)+2×3 …… a 100=a 1+2×1+2×2+2×3+……+2×99 =2+2(1+2+3+……+99)=9902 例2.已知：x 1=97, 对于自然数n>1, x n = 1 -n x n 求：x 1x 2x 3·……·x 8的值 解：由递推公式x n = 1 -n x n 可知 x 1x 2=x 1 1 2x =2 x 3x 4=x 3 3 4x =4 x 5x 6=x 5 5 6x =6 x 7x 8=x 7 7 8x =8 ∴x 1x 2x 3·……·x 8=2×4×6 ×8=384 例3.已知：100个自然数a 1,a 2,a 3……a 100满足等式 (n-2)a n －（n －1）a n-1+1=0 (2≤n ≤100)并且a 100=199 求：a 1＋a 2＋a 3＋……＋a 100 分析：已知等式是一个递推公式，用后项表示前项：a n-1=1 1 )2(-+-n a n n 可由a 100求a 99,a 98…… 解：a 99= 99 1 )2100(100+-a = 99 1 19998+?=197 a 98= 98 1 )299(99+-a = 98 1 19797+?=195 用同样方法求得a 97=193, a 96=191,……a 1=1 ∴a 1＋a 2＋a 3＋……＋a 100＝1＋3＋5＋……＋195＋197＋199 ＝ 2 100 )1991(?+＝104 练习23 1. 已知 a 1=1, a 2=1, 且a n+2=a n+1+a n 那么 a 3=___,a 4=____,a 5=_____,a 6=_____,a 7=_____ 2. 若a 1=2m, a n = 1 2-n a 则a 2=__,a 3=__,a 4=__,a 5=__,a 1989×a 1990=___ 3. n 为正整数，有递推公式a n+1=a n －3，试用a 1,n 表示第n 项a n 4. 已知 a 1=10, a n+1=2a n 求a 10 5. 已知 f(2)=1, f(n+1)=f(n)+n, 求 f(10) 6. 设x+y=a 1, x 2 +y 2 =a 2, …… x n +y n =a n, xy=6, 则a 2=a 12 －2b, 有递推公式a n+1=a 1a n －ba n-1, 试按本公式求出：用a,b 表示a 3, a 4, a 5, a 6 根据下列数据的特点，写出递推公式： ① a 1=1, a 2=4, a 3=7, a 4=10……a n =＿＿＿＿,a n+1＿＿＿＿＿＿＿＿ ② a 1=1, a 2=3, a 3=6, a 4=10……a n =＿＿＿＿＿＿,a n+1＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 7. n 名象棋选手进行单循环比赛（每人对其他各人各赛一场）试用递推公式表示比赛的场数。 8. 平面内n 条的直线两两相交，最多有几个交点？试用递推公式表示。 初中数学竞赛辅导资料（24） 连续正整数的性质 内容提要 一.两个连续正整数 1.两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。 2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。 3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。 4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3＝1＋2，79＝39＋40， 111＝55＋56。 二.计算连续正整数的个数 例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是 99999－10000＋1＝90000（个） 1. n 位数的个数一般可表示为 9×10n-1(n 为正整数，100 ＝1) 例如一位正整数从1到9共9个（9×100 ）， 二位数从10到99共90个 （9×101） 三位数从100到999共900个（9×102）…… 2.连续正整数从n 到m 的个 数是 m －n+1 把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的连续数的个数的计算，举例如下： 3. 从13到49的连续奇数的个数是 21349－＋1＝19 从13到49的连续偶数的个数是2 1448－＋1＝18 4. 从13到49能被3整除的正整数的个数是31548－＋1＝12 从13到49的正整数中除以3余1的个数是3 13 49－＋1＝13 你能从中找到计算规律吗？ 三.计算连续正整数的和 1. 1＋2＋3＋……＋n ＝（1＋n ） 2 n （n 是正整数） 连续正整数从a 到b 的和 记作(a+b)2 1 +-a b 把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的和，举例如下： 2. 11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×2 23＝759 （∵从11到55有奇数 2 1155－＋1＝23个） 3. 11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）× 2 15＝480 （∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共 3 1153－＋1＝15） 四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和 1. 123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）＝9×5＝45 2. 1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98）， （2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1 ∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901 五. 连续正整数的积 从1开始的n 个正整数的积1×2×3×…×n 记作n ！，读作n 的阶乘 1. n 个连续正整数的积能被n ！整除， 如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除； a（a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。 2.n！含某因质数的个数。举例如下： ①1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个 其中2，4，6，8，10都含质因数2暂各计1个，共5个 其中4＝22含两个质因数2增加了1个 其中8＝23含三个质因数2再增加2个 ②1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法 5，10，15，…125，130均含质因数5暂各计1个，共26个 其中25，50，75，100均含52有两个5各加1个，共4个 其中125＝53含三个5再增加2个 ∴积中含质因数5的个数是32 例题 例1. 写出和等于100的连续正整数 解：∵100＝2×50＝4×25＝5×20＝10×10 其中2个50和10个10都不能写成连续正整数 而4个25：12＋13，11＋14，10＋15，9＋16 得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。 5个20可由20，19＋21，18＋22 得第二组连续正整数18，19，20，21，22。 例2. 一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码？ 解：页数编码中，一位数1到9共9个 两位数10－99，共90个，用数码90×2＝180个 三位数100－999，共900个，用数码900×3＝2700个 四位数1000－1990，共991个，用数码991×4＝3964个 ∴共用数码9＋180＋2700＋3964＝6853 例3.用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数： 1234……99100。问： ①它是一个几位数？ ②它的各位上的数字和是多少？ ③如果从这个数中划去100个数字，使剩下的数尽可能地大，那么剩下的数的前十位数是多少？解：①这个数的位数=9×1+90×2+3=192 ②各位上的数字和=18×50+1=901(见上页第四点) ③划去100个数，从最高位开始并留下所有的9： 包括1――8，10――18，19中的1，20――28，29中的2，……，50到56这里共有8＋19＋19＋19＋19＋14＝98个，再划去57，58中的两个5， 剩下的数的前十位是9999978596。 例4.算术平方根的整数部分等于11的连续正整数共有几个？ 解：∵121＝11，144＝12 ∴算术平方根的整数部分等于11的正整数x是112≤x<122 ;∴符合条件的连续正整数是121，122，123，…，143。共23个。 例5. 已知两个连续正整数的积等于由同一个数码组成的三位数的2倍，求这两个连续正整数。 解：设连续正整数为x,x+1,相同数码的三位数为100a+10a+a 根据题意，得x(x+1)=2(100a+10a+a) 即x(x+1)=222a （1） 把222分解质因数得x(x+1)=2×3×37a（2） ∵连续正整数的积的个位数只能是0，2，6且0＜a≤9 由（1）可知a 可能是1，3，5，6，8 分别代入（2）只有6适合 x(x+1)=36×37 答所求的连续正整数是36和37 练习24 1. 除以3余2的两位数共有___个，三位数有____个，n 位数有____个。 2. 从50到1000的正整数中有奇数___个，3的倍数___个。 3. 由连续正整数连写的正整数123…9991000是_____位数，它的各位上的数字和是_____。 4. 把由1开始的正整数 依次写下去，直写到第198位为止， 位 198123 那么这个数的末三位数是______，这个数的各位上的数字和是_____ 这个数除以9的余数是_____(1989年全国初中数学联赛题) 5. 已知a= 1 199011111个, b= 9 199099999个 那么①ab=______________ ②ab 的各位上的数字和是___________(可用经验归纳法) 6. 计算连续正整数的平方和的个位数： ① 12 +22 +32 +……+92 和的个位数是_______ ② 12+22+32+……+192和的个位数是______ ③ 12 +22 +32 +……+292 和的个位数是______ ④ 12 +22 +32 +……+392 和的个位数是______ ⑤ 12+22+32+……+1234567892和的个位数是＿＿＿＿＿＿ （1990全国初中数学联赛题) 7. 写出所有和能等于120的连续正整数(仿例1)它们共有三组： ____________，_________________，_____________________。 8. 连续正整数的积1×2×3×4×…×100 这积中含质因数5的个数有____，积的末尾的零连续____个。 9. 恰有35个连续正整数的算术平方根的整数部分相同这个相同的整数 是多少？ (1990 年全国初中数学联赛题) 10. .设a,b,c 是三个连续正整数且a 2 =14884,c 2 =15376,那么b 2 是( ) (A)15116 (B)15129 (C)15144 (D)15376 11. 计算：① 2+4+6+ (100) ②1+4+7+10+ (100) ③ +10+15+ (100) 12. 有11个正整数都是小于20，那么其中必有两个是互质数，这是为什么？ 如果有(n+1)个正整数，它们都小于2n ，那么必有两个是互质数，试说明理由。 13. 一串数1，4，7，10，…，697，700的规律是第一个数是1，以后的每一个数等于它前面的一个数 加，直到700为止。将这些数相乘，试求所得的积的尾部的零的个数。(1988年全国初中数学联赛题) 提 示：先求积中含质因数5的个数 初中数学竞赛辅导资料(25) 十进制的记数法 内容提要 1. 十进制的记数法就是用0，1，2…9十个数码记数的方法，位率是逢十进一。底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数： 100=1(个位数—第1位)， 101=10(十位上的数---第2位)， 102=100(百位上的数---第3位)，…10n (第n+1位上的数) 例如54307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×100 2. 十进制的n 位数(n 为正整数)，n n a a a a 321 记作： 10n-1a 1+10n-2a 2+10n-3+…+102a n-2+10a n-1+a n 其中最高位a 1≠0，即0 例如∵999=1000－1＝103－1，9999＝104－1，∴ 9 9999个n ＝10n -1 1 1111个n ＝9 1 10 -n ， 3 3333个n ＝3 1 10 -n ， 5 5555个n ＝( )9 1 10 5-n 4 解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数，这一性质进行讨论。 例题 例1. 一个六位数的最高位是1，若把1移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数 恰好是原数的3倍，求原六位数。 解：设原六位数1右边的五位数为x,那么原六位数可记作1×105＋x ，新六位数为10x ＋1， 根据题意，得 10x ＋1＝3（1×105＋x ） 7x=299999 x=42857 ∴原六位数是142857 例2. 设n 为正整数，计算 9 9999个n × 9 9999个n ＋1 9 9999个n 解：原数＝（10 n –1）×（10 n –1）+1×10n +10n －1 ＝102n －2×10n +1+10n +10n －1 ＝102n 例3. 试证明12，1122，111222，……， 1 111个n 2 222个n 这些数都是两个相邻的正整数的积 证明：12＝3×4， 1122＝33×34，111222＝333×334 注意到333×334＝333×（333＋1）＝3 1-103 ×（ 3 1-103 ＋1） 由经验归纳法，得 1 111个n 2 222个n ＝91 10 -n ×10n + ( )9 1 10 2-n ＝ 3 1 10 -n （ 3 10n ＋ 3 2）＝ 3 1 10 -n （ )13 1 10 +-n 上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积 例4. 试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是9的倍数，那么这个四位数必能被9整除。并把它推广到n 位正整数，也有同样的结论。 证明：设一个四位数为103 a+102 b+10c+d, 根据题意得 a+b+c+d=9k (k 为正整数)，∴d=9k －a －b －c,代入原四位数，得 103 a+102 b+10c ＋9k －a －b －c ＝（103 －1）a+(102 -1)b+9c+9k =9(111a+11b+c+k) ∵111a+11b+c+k 是整数， ∴四位数103a+102b+10c+d,能9被整除 推广到n 位正整数： n 位正整数记作10n －1 a 1+10n-2 a 2+…+10a n-1+a n （1） ∵a 1+a 2+…+a n-1+a n =9k(k 是正整数) ∴a n =9k －a 1－a 2－…－a n-1 代入（1）得 原数＝10n －1a 1+10n-2 a 2+…+10a n-1+9k －a 1－a 2－…－a n-1 ＝（10n-1 －1）a 1+（10n-2 －1）a 2+…+9a n-1+9k ∵10n-1－1，10n-2－1，…10－1分别表示() 9 1999个-n ，() 9 2999个-n ，…9 ∴原数＝9（ 1 111-n a 1＋ 2 111-n a 2＋…＋a n +k ） ∴这个n 位正整数必能被9整除 例5. 已知：有一个三位数除以11，其商是这个三位数的三个数字和。 求：这个三位数。 解：设这个三位数为102 a+10b+c 其中0＜a ≤9, 0≤b,c ≤9 11 10100c b a ++＝9a ＋b ＋ 11 c b a +-且－8 ≤a-b+c ≤18 ∵它能被11整除，∴a-b+c 只能是11或0。 ① 当a-b+c ＝11时，商是9a+b+1, 根据题意得9a+b+1＝a+b+c ，c=8a+1 a 只能是1，c=9, b=a+c-11=-1不合题意 ② 当a-b+c ＝0时，商是9a+b, 9a+b= a+b+c 且a-b+c ＝11 解得 ?? ? ??===891c b a 答这个数是198 例6. 一个正整数十位上的数字比个位数大2，将这个数的各位数字的顺序颠倒过来，再加上原数，其和 是8877，求这个正整数。 解：∵顺序颠倒过来后,两个数的和是8877, ∴可知它们都是四位数 设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为a,b,c 则个位数是c-2, 根据两个数的和是8877试用列竖式讨论答案 a b c (c-2) 从个位看 (c-2)+a=7或17 +) (c-2) c b a 从千位看a+(c-2)=8 (没进入万位) 8 8 7 7 可知 (c-2)+a=7 即c+a=9 (1) 从十位上看b+c=7或17 从百位上看c+b=8 (进入千位) 可知 c+b=17 (2) (2)+(1)得 b-a=8 ∵0 ∴a=1 ， c-2=6 答这个正整数是1986 练习25 1. 设a 是个两位数，b 是三位数。当a 接在b 的左边时，这个五位数应记作_____，当a 接在b 的右边时， 这个五位数应记作_____。 2. 有大小两个两位数。大数的2倍与小 数的3倍的和是72。在大数的右边写上一个0再接着写小 数， 得到第一个五位数；在小 数的右边写上大数再接着写个0，得到第二个五位数。已知第一个五位数除以第二个五位数得商2，余数590。求这两个两位数。 3. 计算：1987×19861986－1986 ×19871987 4. 一个22位数，个位数字是7，当用7去乘这个22位数时，其积也是22位数，并且恰好是将这个数的 个位数字7移到最高位，其余各数的大小和顺序都不变。求原22位数。 5. 试证明：11－2， 1111－22， 1 2111个n － 2 222个n ，各数都能写成某个正整数的平方。（即证明各数都是完全平方数） 6. 一个两位数的两个数字对调后，所得新两位数与原两位数的比是4∶7。求符合条件的所有两位数。 7. 已知一个六位数乘以6，仍是六位数，且有abcdef ×6＝defabc 求原六位数abcdef 8. 已知四位数abcd 除以9得四位数dcba ，求原四位数。 9. 一个五位正奇数x ，将x 中的所有2都 换成5，并把所有5都换成2，其余各数不变，得一个新五位 正奇数，记作y ，若x,y I 满足等式： y=2(x+1),那么x=________(1987年全国初中数学联赛题) 10. 已知存在正整数n 能使数 1 11111个n 被1987整除， 求证：p= 1 11111个n 9 99999个n 8 88888个n 7 77777个n 能被1987整除（1987年全国初中数学联赛题） 11. 一个三位数被11整除，其商是这个三位数的三个数字的平方和。求符合条件的所有三位数。 （1988年全国初中数学联赛题） 12. 一个三位数，它的十位上数字比百位上数字小2，而个位数比百位上数字的算术平方根大7。求这个三 位数。 13. 求证： 1 199011111个是一个合数。 【压轴题】八年级数学上期末试卷带答案 一、选择题 1．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ） A ．5.6×10﹣1 B ．5.6×10﹣2 C ．5.6×10﹣3 D ．0.56× 10﹣1 2．下列边长相等的正多边形能完成镶嵌的是（ ） A ．2个正八边形和1个正三角形 B ．3个正方形和2个正三角形 C ．1个正五边形和1个正十边形 D ．2个正六边形和2个正三角形 3．如图所示，小兰用尺规作图作△ABC 边AC 上的高BH ，作法如下： ①分别以点DE 为圆心，大于DE 的一半长为半径作弧两弧交于F ； ②作射线BF ，交边AC 于点H ； ③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E ； ④取一点K 使K 和B 在AC 的两侧； 所以BH 就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（ ） A ．①②③④ B ．④③①② C ．②④③① D ．④③②① 4．已知关于x 的分式方程213x m x -=-的解是非正数，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤ B ．3m < C ．3m >- D ．3m ≥- 5．如果解关于x 的分式方程 2122m x x x -=--时出现增根，那么m 的值为 A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-4 6．若2310a a -+=，则12a a +-的值为（ ） A ．51+ B ．1 C ．-1 D ．-5 7．若代数式 4x x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x =0 B ．x =4 C ．x ≠0 D ．x ≠4 8．如图，在△ABC 中，以点B 为圆心，以BA 长为半径画弧交边BC 于点D ，连接AD ．若∠B =40°，∠C =36°，则∠DAC 的度数是（ ） 初二数学综合试卷（五）2001 6 一、 填空题（2×13=26分） 1、2)3(-的平方根是________，3 27的立方根是_________。 2、已知13+x 有意义，则 x 的取值范围是______________。 3、在39,3.0,4,,7 22 ?π当中，___________________是无理数。 4、 实数a, b, c 在数轴上相应 位置，如图， 则=-+-22)()(b c b a ________ 5 、化简：3 3 ) 3(-+-πππ=_____________ 6、平方根等于32-a 和22 3-a 的数是 。 7、八边形的内角和等于___________度，外角和等于__________度。 8、平行四边形ABCD 中，∠A ∶∠B = 2∶7，则∠C = ________ ∠D = _______ 9、顺次连结矩形四边中点所得的四边形是_________________ 10、一个菱形的面积是24cm 2，一条对角线长是6cm ，则其周长是 _______________ 11、直角梯形的高和上底长都是2cm ，一个底角是300,则其面积为 _______________ 12、 如图，平行四边形ABCD 对角 线相交于点O ，AD >CD ，过 点O 作OE ⊥BD 交AD 于E ，已 知△ABE 的周长是a ，则平行 四边形ABCD 的周长是_________ 13、设 k a c b a b c b a c c b a =++-=+-=-+，则 k 的值为______ 二、选择题（每小题2分，共24分） 14、一个数的平方根等于这个数本身，这个数是（ ） A 、 1 B 、 0 C 、－1 D 、0或－1 15、下列说法中不正确的是（ ） A 、实数包括有理数和无理数 B 、无理数是无限小数 C 、有理数是有限小数 D 、绝对值最小的实数是0 16、下列各组数的比较中，错误的是（ ） A 、65->- B 、л > 3.14 C 、3223> D 、212 11-=+ 17、下列计算正确的是（ ） A 、532=+ B 、2828+=+ C 、 53135= D 、3 2 2 322= 18、在① 12 ②32 ③ 3 2 ④27中，与3是同类 二次根式的是（ ） A 、①和③ B 、②和③ C 、①和④ D 、③和④ 19、甲、乙两同学对 )0,0(>>+-y x y x y x 分别作了如下变形： 甲： y x y x y x y x y x y x y x -=-+--= +-) )(())(( 乙： y x y x y x y x y x y x -=+-+= +-) () )(( 关于这两种变形过程的说法正确的是（ ） A 、只有甲正确 B 、只有乙正确 C 、甲乙都正确 D 、甲乙都不正确 20、能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ） A 一组对边平行，另一组对边相等 B 一组对边平行，一组对角相等 C 一组对边相等，一组对角相等 C 两组邻角互补 21、下列图形中是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A 线段 B 平行四边形 C 矩形 D 菱形 22、 如图，321////l l l ，另两条直线分别与 其相交于点A 、C 、 E 和B 、D 、 F ，则 下式子中不一定成立的是（ ） A DF BD CE C A = B BF BD AE C A = C BF DF AE CE = D EF CD AE C A = 23、如图，要使△ABC ∽ △BDC ，必须具备的条件是（ ） AB CA CD CB = B BC AB CD BD = C DC AC BC ?=2 D DA CD BD ?=2 24、如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是BE 的中 点，AE 、DF 交于点H ，则A D H E F H S S ??与的比值是（ ） A 21 B 4 1 C 81 D 161 25、 如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为 BC 和CD 上一点，EA 平分∠BEF ，若 ∠AEB 的度数为m ，则∠AFE 的度数 为（ ） －m C 150－m D 135－m 二、 解答题。（前3题每题4分，后2题每题5分，共22分） 26、已知2≈1.414，3≈1.732，求 3 12 1+ 的值。 （精确到0.01） 27、计算：1 54)15(2++- A B C D E F B A B C E F D E F 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. . 初二数学上学期期末综合试卷 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 某市有7万名学生参加中考,要想了解这7万名学生的数学考试成绩,从中抽取了1000名考生的数学成绩进行分析,以下说法正确的是-------------------------------------- ( ) (A) 这1000名考生是总体的一个样本 (B) 每名考生是个体 (C) 7万名考生是总体 (D) 7万名考生的数学成绩是总体 2.甲、乙两班学生参加了同一次数学考试，班级的均分和方差如下： ,180,240,80,802 2====乙 甲 乙 甲 S S x x 则成绩较为整齐的是----------（ ） （A ）甲班 （B ）乙班 （C ）两班一样 （D ）无法确定 3．某地区100个家庭收入按从高到低是5800，……，10000元各不相同，在输入计算时，把最大的数错误地输成100000元，则依据错误的数据算出的平均数比实际平均数多（ ） （A ）900元（B ）942元（C ）90000元（D ）9000元 4.下列命题: (1)相等的角是对顶角. (2) 同位角相等 (3) 直角三角形的两个锐角互余. (4) 若两条线段不相交,则两条线段平行. 其中正确的命题个数有------------- ( ) (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5. 下列语句不是命题的是 ( ) (A) 三角形的三个内角和是180° (B) 角是几何图形 (C) 对顶角相等吗? (D) 两个锐角的和是一个直角 6. 下列图形一定相似的是-------------------------------------------------------------（ ） (A) 两个矩形 (B) 两个等腰梯形 (C) 有一个内角相等的两个菱形 (D) 对应边成比例的两个四边形 7. 如图，ΔABC 中，P 为AB 上一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B ；②∠APC=∠ACB ；③AC 2=AP ?AB ；④AB ?CP=AP ?CB ，能满足ΔAPC 与ΔACB 相似的条件是（ ） (A)①②③ (B)①③④ (C)②③④ (D)①②④ 8. 如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是---------------（ ） (A)AC AE AB AD = (B)FB EA CF CE = (C)BD AD BC DE = (D)CB CF AB EF = 9. 如图,在平行四边形ABCD 中,O 1、O 2、O 3分别是对角线BD 上的三点，且BO 1=O 1O 2=O 2O 3=O 3D ，连接AO 1并延 长交BC 于点E ，连接EO 3并延长交AD 于点F ，则AF ：DF 等于（ ） (A) 19:2 (B) 9:1 (C)8:1 (D) 7:1 （第7题图） （第8题图） （第9题图） 10．某公司在布置联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条。如图所示：在RT △ABC 中，AC=30cm,BC=40cm.依此裁下宽度为1cm 的纸条，若使裁得的纸条的长都不小于5cm ，则能裁得的纸条的张数 ------------------------------（ ） (A) 24 (B) 25 (C) 26 (D) 27 (第10题图) (第17题图) (第18题图) 二、填空题(共25分) 11. 一个样本的方差是 []2 10 2 2 2 1 )20()20()20(10 1 2 -++-+-= x x x S ΛΛ 则样本的个数为 ,样本的平均数是 . 初 二 数 学 竞 赛 试 题 启动你聪明的头脑，你一定能出色完成下面的任务，相信你是最棒的！ 2.下列四个实数中是无理数的是 ( ) （A ）09.0 (B)310 (C) 7 (D)3.14 3.下列说法正确的是（ ） （A ）有理数和无理数都可以用数轴上的点表示。（B ）无限小数都是无理数。 （C ）有理数都是有限小数。 （D ）无理数包含正无理数，0和负无理数。 4.在 1.414，—3 ， 13 2 ，5∏ ，0.101001000100001.。。。。。，39，9中， 无理数的个数有（ ） （Ａ）１个 （Ｂ）２个 （Ｃ）３个 （Ｄ）４个 ５.如图，一棵大树在一次台风中从离地面３米处折断倒下，倒下的树干与地面成３０度角，这棵树在折断前的高度是（ ）米。 （Ａ）７ （Ｂ）９（Ｃ）２５（Ｄ）３０ ６．等腰三角形的周长是４０厘米，以一边为边作等边三角形，它的周长是４５厘米，那么这个等腰三角形的底边长为（ ）厘米 （Ａ）１０ （Ｂ）１５ （Ｃ）１０或１２.５ （Ｄ）１０或１５ ７.一个边长分别为６,８,１０的三角形，最短边上的高为（ ） Ａ.６ Ｂ.８ Ｃ.１０ Ｄ.４.８ ８.－８的立方根与４的算数平方根的和是（ ） Ａ．４ Ｂ．－４ Ｃ．０ Ｄ．０或－４ ９.如图已知长方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ=３ｃｍ，ＡＤ=９ｃｍ，将此长方形折叠，使点Ｂ与点Ｄ重合，折痕为ＥＦ，则△ABE 的面积为（ ）cm 2 A .6 B.8 C.10 D.12 10.16的平方根是（ ） （A ）4 （B ）±4 （C ）2 （D ）±2 二．耐心填一填，一锤定音：（每题3分，共30分） 11. 12.如图：点P 是∠AOB 的平分线上任一点，PA ⊥OA 于点A ，PB ⊥OB 于点B ，PA=3，OB=4，则四边形的面积为___________. 13.设a 和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，则 m cd +(a+b)m-∣m ∣=___________________. 14.如图所示：∠AOB 内一点P,C.D 分别是P 关于OA,OB 的对称点，CD 交OA 于点M,交OB 于点N ，若CD=5cm ，则△PMN 的周长为______. 15.已知一个Rt △的两边长为3和4，则第三边长的平方是____________. 16.直角三角形的一条边长为11，另两边为自然数，则三角形的周长为_______. 17.已知Rt △ABC 中，∠C=90，若a+b=14cm,c=10cm,则三角形的面积为_____. 18.若33b a =0，则a 与b 的关系是_____________. 19.如图，把两块含有30°角的相同的三角尺如图所示摆放，使点C ，B ，E 在同一条直线上，连接CD,若AC=6cm,则△BCD 的面积是___________. 20.我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形。（如图所示）如果大正方形的面积是13，小正 数学竞赛试题 一、填空题：每小题2分，共40分。 1、使等式x x x =-成立的的值是。 2、扇形统计图中扇形占圆的30%，则此时扇形所对的圆心角为。 3、如果点A（3，a）是点B（3，4）关于y轴的对称 点，那么a的值是。 4、如图1，正方形ABCD的边长为1cm，以对角线AC 为边长再作一个正方形，则正方形ACEF的面积是 2 cm . 5、已知四个命题：①1是1的平方根，②负数没有立方根，③无限小数不一定 是无理数，④ 有个。 6、已知7 2π? -? ? ，，，其 中无理数有个。 7、 若 A的算术平方根是。 （图1） F E D C B A （图2） F G E D C B A 8、如图2，在△ABC 中，AB=AC ，G 是三角形的重心，那么图中例行全等的三角形的对数是 对。 9、足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分；一 支中学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了 场。 10、若方程组41 01,43x y k x y k x y +=+?<+ 八年级数学试题 一、精心选一选（每小题3分，共30分） 1、下列式子中，从左到右的变形正确的是 ( ) A 、 1 -b 1-a b a B 、 bm am a = b C 、 a b a ab = 2 D m a m b a b ÷÷= 2、在四边形ABCD 中，∠B= 90 , ∠A: ∠D: ∠C=1:2:3，则∠C 为 （ ） A 、 160 B 、 135 C 、 90 D 、 45 3、甲、乙、丙、丁四支足球队在一次预选赛中进球数分别为：9，9，x ，7，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则这组数据的中位数是 ( ) A 、10 B 、9 C 、8 D 、7 4. 如果 2a b =，则 22 2 2 a a b b a b -++的值为 （ ） (A) 45 (B) 1 (C) 35 (D) 2 5、梯形ABCD 中，A D ∥BC ，加上什么条件，梯形ABCD 不一定是等腰梯形 （ ） A 、AC=BD B 、∠ABC=∠DCB C 、A C ⊥B D D 、AB=CD 6、当a= —2时，分式 2 -a 5a 32-a a 22 （ ） A 、值为0 B 、有意义 C 、无意义 D 、值等于7 2 7、已知反比例函数x m 2-1y = 的图像上两点A （11y x ，），B （22y x ，）， 当1x ＜0＜2x 时，有1y ＜2y ，则m 的取值范围是 （ ） A 、m ＜0 B 、m ＞0 C 、m ＜ 2 1 D 、m ＞— 2 1 8、已知菱形ABCD 的周长为40cm ，两条对角线BD ：AC=3:4，则两条对角线BD 和AC 的长分别是 （ ） A 、24cm 32cm B 、12cm 16cm C 、6cm 8cm D 、3cm 4cm 9、如图一，正比例函数）（0k kx y ?=与反比例函数x 1y = 的图像相交于A 、C 两点过点A 做x 轴 的垂线交x 轴于B ， 连接BC 。若△ABC 的面积为S ，则 （ ） A 、S=1 B 、S=2 C 、S=3 D 、S 的值不确定 2009年初中数学（初二组）初赛试卷 01 一、选择题（本大题满分42分，每小题7分） 1、下列名人中：①比尔·盖茨 ②高斯 ③袁隆平 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥华罗庚 ⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ） A ．①④⑦ B.③④⑧ C.②⑥⑧ D.②⑤⑥ 2、已知1 11,,b c a a b c a b c +=+=+≠≠则a 2b 2c 2=( ) B.3.5 C.1 、在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点。设k 为整数，当直线2y x =-与y kx k =+的交点为整点时，k 的值可以取（ ） A ．4个 个 个 个 4、如图，边长为1的正方形ABCD 绕A 逆时针旋转300到正方形AB ‘C ’D ‘ ，图中阴影部分的面积为（ ） A.1 1 D.12 5、已知()421M p p q =+，其中,p q 为质数，且满足29q p -=，则M =（ ） .2005 C （第4题图） （第6题图） 6、四边形ABCD 中0060,90,DAB B D ∠=∠=∠=1,2BC CD ==,则对角线AC 的长为（ ） 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 1、 如果有2009名学生排成一列，按1、 2、 3、 4、 5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、 1??? 的规律报数，那么第2009名学生所报的数是 。 2、已知,,a b c 满足2224222a b a c ac -+++=+，则a b c -+的值为______ 3、已知如图，在矩形ABCD 中，AE BD ⊥，垂足为E ，0 30ADB ∠=且BC =，则 ECD 的面积为_____ 4为_______度。 . D C B A 、 B 、 C 、 D 、 数学部分 一、选择题(每小题有且只有一个答案正确，每小题4分，共40分) 1、如图，两直线a ∥b ，与∠1相等的角的个数为(C ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、不等式组x>3 x<4 ???的解集是( A ) A 、3 初二下学期数学期末测试题 一、选择题（每小题3分） 1．下列各数是无理数的是（） A．B．﹣C．πD．﹣ 2．下列关于四边形的说法，正确的是（） A．四个角相等的菱形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．有两边相等的平行四边形是菱形D．两条对角线相等的四边形是菱形 3．使代数式有意义的x的取值范围（） A．x＞2 B．x≥2 C．x＞3 D．x≥2且x≠3 4．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，若∠A=45°， ∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（） A．55°B．75°C．95°D．110° 5．已知点（﹣3，y1），（1，y2）都在直线y=kx+2（k＜0）上，则y1，y2大小关系是（） A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能比较 6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD 的面积为（） A．6 B．12 C．20 D．24 7．不等式组的解集是 x＞2，则m的取值范围是（） A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1 8．若+|2a﹣b+1|=0，则（b﹣a）2016的值为（） A．﹣1 B．1 C．52015D．﹣52015 9．如图，在方格纸中选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形为中心对称图形，该小正方形的序号是（） A．①B．②C．③D．④ 10．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（） ①平行四边形；②菱形；③矩形；④对角线互相垂直的四边形． A．①③B．②③C．③④D．②④ 11．如图，在□ABCD中，已知AD＝8㎝， AB＝6㎝， A D 1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是 两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）3 5 ． 答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是 （A ） 251±； （B ）251±-； （C ） 251±或251±-； （D ）2 5 1±-±． 答（ ） ４． 已知：)19911991(2 11 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５． 若M n 1210099321=?????Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自 然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ） ６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） ８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2 1； 答（ ） 八年级上册数学期末试卷综合测试卷（word含答案） 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明． （1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程； （2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）． 【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM． 【解析】 【分析】 （1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN =60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到 MN=BM+NC． （2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论． 【详解】 解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE． ∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30° ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°， 在△MBD与△ECD中， ∵BD CD MBD ECD BM CE ， ∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴MD=DE，∠BDM=∠CDE ∵∠MDN =60°，∠BDC=120°， ∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°， 在△DMN与△DEN中， ∵MD DE MDN EDN DN DN ， ∴△DMN≌△DEN（SAS）， ∴MN=NE=CE+NC=BM+NC． （2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM． A D O 1 F E D C B A 路园中学2018年八年级数学竞赛试卷 一、选择题（本题共10小题，满分共30分） 1．二次根式 2 1、12 、30 、x+2 、240x 、22y x +中，最简二次根式有（ ）个。 A 、1 个 B 、2 个 C 、3 个 D 、4个 2. x 的取值范围为 （ ） A 、x≥2 B 、x≠3 C 、x≥2或x≠3 D 、x≥2且x≠3 3.若2x －1＋1－2x ＋1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是 ( ) A ．x ≥12 B ．x ≤12 C ．x ＝12 D ．x ≠1 2 4．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是 （ ） A ．7，24，25 B ．1113,4,5222 C ．3，4， 5 D ． 114,7,8 22 5.在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是 （ ） （A ）AC=BD ，AB ∥CD ，AB=CD （B ）AD ∥BC ，∠A=∠C （C ）AO=BO=CO=DO ，AC ⊥BD （D ）AO=CO ，BO=DO ，AB=BC 6.如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ＝80°，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，CF ∥AE 交AE 于点F ，则∠1＝ （ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．80° 7.下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形；②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形；③对角线相等的四边形一定是矩形；④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分．其中正确的有 ( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 8.表示一次函数y ＝mx +n 与正比例函数y ＝mnx (m 、n 是常数且 mn ≠0)图象是 （ ） 9.如图所示，函数x y =1和3 4 312+= x y 的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y >时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜－1 B ．—1＜x ＜2 C ．x ＞2 D ． x ＜－1或x ＞2 10、如图，在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为 （ ） A ． 5 4 B ． 52 C ．53 D ．65 二、填空题（本题共8小题，满分共24分） 11．48 -1 -?? +)13(3--30 -23-= 12．边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为 13. 平行四边形ABCD 的周长为20cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若△BOC 的周长比△AOB 的周长大2cm ，则CD ＝ cm 。 14.在直角三角形ABC 中，∠C=90°，CD 是AB 边上的中线，∠A=30°，AC=5 3，则△ADC 的周长为 。 15、如图，平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ，AB= 5 ，AC=6，DB=8 则四边形ABCD 是的周长为 。 16.在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ． 17. 某一次函数的图象经过点（1-，3），且函数y 随x 的增大而减小， 请你写出一个符合条件的函数解析式____________________ __． 18.如图所示，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，P 是CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ ＋PR 的值是 三．解答题： 21. （7分）在△ABC 中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm ，求BC 的长. M P F E C B A （满分150分，120分钟完卷） 姓名： 得分： 一、选择题：（4X10=40） 1、已知b a >，则下列不等式中成立的是（ ） A. bc ac > B ．b a ->- C ．b a 22-<- D ．b a ->-33 2、若 0≠=d c b a ，则下列各式正确的是（ ） ． A ． dx cx b a = B ． 1 1++=d c b a C ． b a d b c a =++ D ． d d c b b a 22+= + 3、下列图形中不是．．中心对称图形的是（ ） A B C D 4、如图，直线21l l 、被直线3l 所截，且1l ∥2l ，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ） A 、?130 B 、?50 C 、?40 D 、?60 5、下列调查方式中，适宜采用抽样调查的是（ ） A 、了解重庆市所有九年级学生每天参加体育锻炼的平均时间 B 、审查一篇科学论文的正确性 C 、对你所在班级同学的身高的调查 D 、对“瓦良格”号航母的零部件性能的检查 6、已知数据2，3，x ，4，8的平均数是4，则这组数据的中位数和众数是（ ） A ．3和3 B. 3和4 C.2和3 D.4和4 7、某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x 件，则x 应满足的方程为（ ）． A ． x +48720548720 =- B ．x +=+48720548720 C ．572048720=-x D ．-48720x +48720 =5 8、如图，A 为反比例函数x k y =图象上一点，AB 垂直x 轴于B 点，若S △AOB ＝3，则k 的值为（ ） A B O x y A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 不能确定 9. 2012中国（重庆）国际云计算博览会简称“云博会”于3月22日—24日在重庆南坪国际会展中心隆重举行。小明开车从家去看展览，预计1个小时能到达，行驶了半个小时，刚好行驶了一半路程，遇到堵车道路被“堵死”，堵了几分钟突然发现旁边刚好有一个轻轨站，于是小明将车停在轻轨站的车库，然后坐轻轨去观看“云博会”，结果按预计时间到达。下面能反映该小明距离会展中心的距离y （千米）与时H I M N 第4题图 初二数学竞赛试卷及答案 2014年初二下学期数学竞赛试卷 命题人:徐艳红审题人:李翠时间:3.25晚 本卷满分120分,考试时间120分钟一选择题(5*6=30) 22a，b,2a,4b，51、多项式的值总为( ) A、非负数 B、零 C、负数 D、正数 2xa，2、关于的方程的解是正数，则的取值范围是( ) xa,1x,1 aa,,,10且aa,,,,12且a,,1a,,1 A、 B、 C、 D、 3.如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点，A、C同时沿正方形的边开始移动甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2014次相遇在边 ( ) A( AB上 B. BC上 C( CD上 D(DA上 ky,4. 如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC?AO，AB?AO，过点C的双曲线 x交OB于D，且OD :OB=1 :2，若?OBC的面积等于3，则k的值( ) 324A(等于2 B(等于 C(等于 D(无法确定 45 5. 如图，以Rt?ABC的斜边BC为一边在?ABC的同侧作正方 形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4， AO=，那么AC的长等于( ) 62 43A 12 B C 16 D 82 y B CB C A DO F xOAA ) 第4题 E (第3题) 第5题 222226.若关于x的方程的解是，，则关于x的方程xc,x,xc，,，xa，,， 12cxcxa,,11学校班级: 姓名: 考号: 的解是( ) 222a，1a,1A.， B.， C.， D. ， aaa 密封线内不要答题 ca,1a,1a,1 二填空题 (5*6=30) 7.如下图，在直角坐标系中，已知点A(-3，0)，B(0，4)，对?OAB连续作旋转变换，依次得到三角形?、?、?、?、…，则三角形?的直角顶点的坐标为___________. … … … … … … pyy,2x，6xp(x,y)位于第二象限，并且，、为整数，则点的个8,已知点 数是。 9(如图，?ABC中，点D、E、F分别在三边上，AD、BE、CF交于一点G， BD,2CD，面积S,3，面积S=4，则S, 12?ABC 10，如图，P是平行四边形内一点，过点P分别作AB,AD的平行线 ,交平行四边形四边形的四边于E、F、G、H， 若S=10，S =6，则S?= 四边形四边形PFCGAHPEPBD 11、如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答。 初二数学期中复习试卷（2009.3.27.） 姓名 得分 成绩 一、选择题：（每题3分，共15分） 1、当x _____时，分式11 x x +-无意义；当x = 时，分式 1 12 +-x x 的值为0. 2、函数y= 1 1-x 中， 自变量x 的取值范围是 。 3、计算： =+-+3 93 2 a a a ________ 4、函数k y x =的图象经过点（1，－2），则k 的值为 。 5、形如 d c b a 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 d c b a ＝ad －bc ，依 此法则计算 54 313 21 <-m x 的解集为x ＜4则m 。 二、填空题：（每题3分，共20分） 6、2的倒数是 （ ） A ．2 1- B ．2- C ． 2 1 D ．2. 7、根据分式的基本性质，分式 b a a --可变形为：（ ） A ． b a a -- B ． b a a + C ．b a a -- D ．b a a +- 8、若a ＞b ，则下列结论中正确的是 （ ） A ．1-a ＜1-b B ．a 31- ＜b 3 1- C ．a 5＜b 5 D ．a 2＜b 3 9、如图，正方形A B O C 的边长为2，反比例函数k y x =过点A ，则k 的值是（ ） A ．2 B ．2- C ．4 D ．4- 10、古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为（ ） A 、198 B 、200 C 、199 D 、197 11、不等式组312840 x x ->?? -?，≤的解集在数轴上表示为 ( ) 八年级数学竞赛题 （本检测题满分：120分，时间：120分钟） 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ） A ．－5 B ．－2 C ．1 D ．4 2.下列各式中计算正确的是（ ） A .9)9(2-=- B .525±= C .3 3 11()-=- D .2)2(2-=- 3.若901k k <<+ （k 是整数），则k =（ ） A . 6 B . 7 C .8 D . 9 4.下列计算正确的是（ ） A.ab ·ab =2ab 错误!未找到引用源。 C.3错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=3（a ≥0） D.错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。（a ≥0,b ≥0） 5.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5 6.已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为（ ） A ．12 B ．7＋7 C ．12或7＋7 D ．以上都不对 7.将一根24 cm 的筷子置于底面直径为15 cm ，高为8 cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是（ ） A ．h ≤17 B ．h ≥8 C ．15≤h ≤16 D ．7≤h ≤16 8.在直角坐标系中,将点（－2,3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ） A .（4, －3） B .（－4, 3） C .（0, －3） D .（0, 3） 9.在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （4，5），B （1，2），C （4，2）， 将△ABC 向左平移5个单位长度后，A 的对应点A 1的坐标是（ ） A ．（0，5） B ．（－1，5） C ．（9，5） D ．（－1，0） 10.平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线l 经过第一、二、三象限，若点（0，a ），（-1， b ） ，（c ，-1）都在直线l 上，则下列判断正确的是（ ） A . b a < B . 3 2013-2014学年八年级（上）数学期末测试题 （测试内容：三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘除与因式分解、分式） （时间：120分钟 总分：150分 ） 一、 精心选一选：(本题共32分，每小题4分) 1、下列运算中，正确的是（ ）。 A 、x 3 ·x 3 =x 6 B 、3x 2 ÷2x=x C 、(x 2)3 =x 5 D 、(x+y 2)2 =x 2 +y 4 2、下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）。 3、下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ） A 、a (x + y) =a x + a y B 、x 2 －4x+4=x(x －4)+4 C 、10x 2 －5x=5x(2x －1) D 、x 2－16+3x=(x －4)(x+4)+3x 4、如果把 y x y 322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ） A 、扩大5倍 B 、不变 C 、缩小5倍 D 、扩大4倍 5、如图，E 、B 、F 、C 四点在一条直线上，EB=CF,∠A=∠D 再添一个条件仍不能证明ΔABC ≌ΔDEF 的是（ ） A ．AB=DE B. DF ∥AC C ．∠E=∠ABC D ．A B ∥DE 第5题 第8题 6、已知m 6x =，3n x =，则2m n x -的值为（ ）。 A 、9 B 、 43 C 、12 D 、34 7、如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°， 则∠GEF 的度数是( ) A.80° B.90° C.100° D.108° 8、如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．则四个结论：① AD=BE ；②∠OED=∠EAD ；③ ∠AOB=60°； ④ DE=DP 中正确的是 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①④ 二、 细心填一填：(本题共32分，每小题4分) 9、计算(－3a 3 )·(－2a)-2 ＝_____________ 10、当 _______时，分式1 -x 3 无意义；当 ______时，分式3 9 x 2--x 的值为0. 11、如图，点P 在∠AOB 的平分线上， 若使△AOP ≌△BOP ，则需添加的一个 条件是 ___________（ 写一个即可） 12、因式分解:3 226126y xy y x +-= 13、多项式1a 42 +加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是______________________。（填上两个你认为正确的即可） 14、甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇；若同向而行， 则b 小时甲追上乙.那么甲的速度是乙的速度的 倍。 A B C D A B F C D A B P O E D C A B H F G【压轴题】八年级数学上期末试卷带答案
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