《用转化思想解决问题》教学设计转化是解决问题时常用的方法，能把较复杂的问题简单化、新的问题变成较简单的、已经解决的问题。转化策略的应用非常广泛。教学以学生对转化策略的体验与主动应用为主要目的，进而可以用转化的策略解决问题。
教学目标：
1、通过仔细观出问题特点，培养学生的数感、图形感，在学习并运用转化的过程中，培养学生解决问题的主动意识和对问题解决过程的判断意识。
2、学生初步学会运用转化的策略分析问题，灵活确定解决问题的思路，并能根据问题的特点确定具体的转化方法，从而有效地解决问题。
3、学生通过回顾曾经运用转化策略解决问题的过程，从策略的角度进一步体会知识之间的联系，感受转化策略的应用价值。
4、学生进一步积累运用转化策略解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，主动克服在解决问题中遇到的困难，获得成功的体验。
教学重难点：
理解转化策略的必要性和价值，丰富学生的策略意识，初步掌握转化的方法和技巧。
设计理念：
转化法是数学解决问题时的一个重要技巧，它能分散难点，化繁为简，有迎刃而解的妙处。掌握转化策略不仅有利于问题的解决，更有益于思维的发展。在设计本课教学时注意了以下几个方面：
（1）突出转化策略的实际价值。通过观察、比较、猜测、合作交流等活动形式体会策略的实际价值。
（2）合理突破运用转化策略的关键。根据问题的具体情况具体分析，从不同的角度来理解转化，尝试多种不同的方法解决问题，既充分考虑学生的思维发展水平，又便于学生实实在在地掌握转化的策略。
（3）形成积极的策略体验。不能满足于学生对“策略”一词的理解，不能把解决某一具体问题作为目标，而应让学生在解决问题的过程中形成对策略的积极的情感体验。
设计思路：
首先，通过有趣的故事《曹冲称象》引入教学，使学生感受转化的必要性和价值，激发学生的求知欲，并初步体会“转化”的思想。
其次，通过复习以前学习中用到的转化使学生进一步感知转化的策略。通过求图形的面积让学生更深入的研究学习转化策略，后通过独立思考、小组合作学习等形式引导学生在异质小组内彼此互助，共同完成“转化”策略的探究，师生进行小组评价。及时引导学生将新旧知识联系，体会“转化”策略的广泛应用，形成积极应用策略的情感，后引导学生运用策略解决实际问题。
再次，通过应用策略解决实际问题，巩固对“转化”策略的理解，对“转化”策略价值的再确认。
最后，通过实际生活中的例子帮助学生帮助学生完善认知，提升情感。
教学过程
一、故事引入：
1、学生听录音播放的故事：《曹冲称象》
听了这个故事，你受到了哪些启发呢？
2、揭示学习内容，板书课题
二、自主探究新知，初步理解“转化”策略。
1、唤醒已有认知经验。
回顾以前学过的知识中哪些知识的学习用到了转化的思想。
①三角形（梯形）面积→平行四边形→长方形
②圆形→长方形（三角形、梯形）
③小数乘法→整数乘法
④分数除法→分数乘法
……
2、进一步理解“转化”策略。
通过例题，学生小组合作讨论，用多种方法体验转化的价值和意义。
三、通过处理练习，深入理解“转化”策略。
3、“转化”思想在数学算式中的应用，进一步感受策略的价值和力量。
1 2＋
1
4
＋
1
8
＋
1
16
和
11111
24816256
通分方法的运用，是一种转化的策略，但使用它解决第二个问题显得有些复杂了，进而引出了图形的做法，数形结合思想的应用更能直观明了的看出算式的结果，同时也是从问题的反面考虑将加法算式转化为减法算式。让学生在这样的思考中逐步提高思维能力。
4、“转化”的策略在我们的学习中有重要的作用，在生活中很常见。
通过在楼梯上铺地毯让学生提取有用的数学信息，主动建立模型来解决实际问题，逐步提高解决问题的能力。在本题中既有周长的转化，又有面积的求法。
5、学生自由交流本节课的思想方法以及所学到的知识。
6、用本节课所学的知识解决问题，求瓶子的容积。
《用转化思想解决问题》课堂实录
一、故事引入，初步感受转化：
1、学生听录音播放的故事：《曹冲称象》
师：听了这个故事，你受到了哪些启发呢？
生：因为大象不能称，所以曹冲想办法把大象转化成了石头。
师：在当时科学条件不发达的情况下，没法称出大象的重量，所以曹冲才想到把大象的重量转化成石头的重量。这是我们数学学习中常用的一种重要思想，一会上课我们就要用到它。<学生自由交流感受，教师适时小结>.
师：同学们准备好了吗？
二、回顾旧知，唤醒已有认知经验。
师：同学们你觉得曹冲聪明不聪明？你想用曹冲的办法来解决我们遇到的问题吗？
生：聪明。
师：那我我们先来回顾一下，在以前的学习中有哪些知识的学习也用到了转化的思想？
生：三角形（梯形）面积→平行四边形→长方形
师：这就是转化把新的图形的面积转化成了我们学过的长方形的面积。
生：圆形→长方形
小数乘法→整数乘法
分数除法→分数乘法
……
师：这都用到了转化，同学们原来我们已经用转化解决过这么多的问题啊，这些转化都是把我们要学习的新知识转化成了已经学过的知识。其实转化还能解决好多的问题呢，你想不想试一试？
生：想！
三、自主探究新知，初步理解“转化”策略。
1、师：怎样求下面图形的面积？请同学们仔细观察图形
出示例1：
师：先独立思考，你能自己想办法解决吗？
师：把你的想法和小组内同学交流一下，你们可以用画一画、折一折、剪一剪等方法，看哪个小组能解决这个问题，小组长做好记录。
生1：我们小组是把下面两个半圆剪下来补到上面的空里，这样就组成一个长方形，这样我们求长方形的面积就行了。
师：非常好，你的想法很巧妙，很好的利用了图形的特点。
生2：我们小组是从中间剪开，平拼成一个长方形。
生3：我们从边上沿着高剪开，这样也可以拼成一个长方形。
师：你的想法很好，能深入的观察图形，发现只要沿高剪开，就可以拼成一个长方形，这个发现很了不起，说明你很善于思考。
生4：我们还发现把上面从花瓶脖子那个地方减下来，拼到底部的两侧，就形成横着的长方形。
师：这个想法有别于其他的同学，说明你很有创造力。
师：同学们都是根据图形的特点想到了转化的办法，看来同学们都很善于观察和思考。这是我们学习数学的很好的品质。下面让我们一起再来清晰的看一遍刚才同学们的想法。（加深印象，更好的帮助学生把知识内化。）
师：刚才大家的办法都是把不规则的图形转化成了规则的图形。在这个过程中什么变了什么没变？
生：形状变了，面积没变。
师：非常棒，同学们点出了问题的关键，在今后我们求不规则图形面积时，要抓住面积不变这一关键因素。
师：同学们，不规则图形对我们来说是新知识，长方形对我们来说是熟悉的、已解决的问题。当我们遇到新问题时，把新的知识转化成已解决过的问题，那新问题就迎刃而解了。
师： 同学们在图形中我们可以用到转化的思想，在数学计算中我们同样可以用到转化的思想，让我们一起看一看吧。
2、应用“转化”策略解决实际问题，感受策略价值。
（1）出示：1111124816256
师：请同学们仔细观察这个式子，你发现这个式子有什么特点呢？
生：我发现分子都是1，而且分母后一个是前一个的两倍。
师：很善于观察，也很善于思考。
师：你能用转化的思想求出这个式子的结果吗？（学生独立思考）看来这个问题有些难度，让我们来看一个简单一些的
计算12 ＋14 ＋18 ＋116
。 生1：我们可以把分母都变成16，用通分的办法。
师：通分也是一种转化，我们是把异分母分数转化成了同分母分数。
但是我们如果用通分的办法解决第一个问题的时候，这个办法就很麻烦了。谁还有别的办法？
生：我们小组用的是画线段图的办法，把一段线段看作单位“1”，先找到1/2，再找剩下的一半是1/4,再剩下的一半是1/8,最后剩下的一块是1/16，我们我们用单位“1”减去1/16就是这几个分数相加的和。
生2：我们用正方形的方法。把一正方形面积看作单位“1”，先找到1/2，再找剩下的一半是1/4,再剩下的一半是1/8,最后剩下的一块是1/16，我们我们用单位“1”减去1/16就是这几个分数相加的和。
师：非常好，同学们有的采用线段图的办法，有的采用面积图的办法，直观、简洁的解决了这个问题，说明咱们同学非常爱动脑筋，我们是根据数学式子特点转化成图形来做，在我们数学中也是一种非常重要的思想，叫做数形结合思想，到了高年级，我们有时候还可以用数学式子来解决图形的问题。（学生尝试计算，在算法比较中体会策略学习价值。）师：现在我们要在这个式子后面加上一个数，同学们说要加几？
生：1/32
师：非常棒，我们一定要遵循式子本身的规律特点来做。
那现在你会做第一个题了吗？抓紧时间在你的练习本上做出答案。
生1：将单位1减去1/256，结果是255/256。
师：很好，同学们在数学的学习中我们能用转化的思想解决过这么多的问题，在现实生活中我们也可以用转化的思想解决我们所遇到的问题。
四、巩固策略理解，灵活解决实际问题。
师：要在一段楼梯上铺地毯，你能算出红地毯需要多长吗？
请同学们仔细观察，独立思考转化的方法，然后把你的想法在小组内交流一下。
生：我们的做法是把竖着的（用手指着）那一部分平移到楼梯的右侧，这样就拼成了一条直线，把横着的一本分拼到楼梯的下面，也拼成一条直线，所以我们就把要求的地毯的长度转化成两条直线的长度。
生2：我们小组和第一个小组的办法差不多，我们是把横着的和竖着的线段平移到左侧和上面，这样就拼成了一个长方形，地毯的长度就转化成了长方形面积的一半。
师;同学们的做法都是将不规则的图形转化成了规则的、我们熟悉的图形。现在已知这个地毯的宽度是2m，你能求出这块地毯的面积吗？（学生独立完成）
四、总结提升
通过本节课的学习你有什么收获？你对“转化”策略的学习有何感想？
师：今天我们学习了用转化的思想解决问题，在解决问题时我们要善于运用转化，用好转化策略，才能正确解题。
最后给大家留下一个思考题，怎样求瓶子的容积？请大家课下用转化的思想解答出来。
教学反思：
转化是解决问题时经常采用的方法，能把较复杂的问题变成较简单的问题，把新颖的问题变成已经解决的问题。转化的手段和具体方法是多样而灵活的，既与实际问题的内容和特点有关，也与学生的认知结构有关，掌握转化策略不仅有利于问题的解决，更有益于思维的发展。通过例1的教学让学生联系实际感悟转化的含义，体会无论在过去还是现在，转化都是解决问题的有效方法。本节课，既把平移，旋转运用到图形等积变化的问题中，又蕴涵探索图形面积公式的转化，还有计算小数乘法的和分数除法时的转化，还有数量关系之间的转化等。通过回忆和交流，意识到转化是经常使用的策略，从而主动应用转化的策略解决问题。基于此，于是采用以下步骤解决。一.创设情境，感知策略。二.合作交流，探究策略。三.拓展运用，提升策略。
图形面积公式探索过程中，转化前后的各种对应关系，是难点也是关键处。此事要引导学生抓住问题的关键，形状变了但是面积没变，这样求出的面积才是我们院图形的面积。
在教学课堂中，我感觉还有很多的不足，首先作为一名教师，基本功要扎实，还要在平时的课堂是多加练习；再就是课堂的驾驭能力，虽然经验不足，但是要从思想里意识到这个问题，从平时的课堂和老师教师的课堂中多去学习，多去琢磨。理论知识的不足，这是限制教师发展的最大障碍，作为一名年轻教师，我们首先要在理论上多去学习，多掌握，才能在今后的实践中更好地把理论实践结合起来。打造高效课堂。
用一次函数解决问题 一．选择题（共10小题） 1．甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y（km）与行驶时间t（h）的函数图象如图所示，下列说法正确的有（） ①甲车的速度为50km/h ②乙车用了3h到达B城 ③甲车出发4h时，乙车追上甲车④乙车出发后经过1h或3h两车相距50km． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．在一次自行车越野赛中，出发mh后，小明骑行了25km，小刚骑行了18km，此后两人分别以akm/h，bkm/h匀速骑行，他们骑行的时间t（单位：h）与骑行的路程s（单位：km）之间的函数关系如图，观察图象，下列说法： ①出发mh内小明的速度比小刚快； ②a=26； ③小刚追上小明时离起点43km； ④此次越野赛的全程为90km， 其中正确的说法有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校公用10分钟．下列说法： ①公交车的速度为400米/分钟；
③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟； ④小刚上课迟到了1分钟． 其中正确的个数是（） A．4个B．3个C．2个D．1个 4．明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：m2）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（） A．300m2B．150m2C．330m2D．450m2 5．如图，表示甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶的路程是（） A．0.5千米B．1千米C．1.5千米D．2千米 6．甲、乙两名自行车运动员同时从A地出发到B地，在直线公路上进行骑自行车训练．如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系，下列四种说法：①甲的速度为40千米/小时；②乙的速度始终为50千米/小时；③行驶1小时时乙在甲前10千米；④3小时时甲追上乙．其中正确的个数有（）
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使 之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将 难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归， 如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问 题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1.转化与化归的原则 （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决. （2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂 问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. （3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决. （4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解. 2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况 转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有 效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. （2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、 不等式问题转化为易于解决的基本问题. （3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径. （4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的. （5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. 随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标 的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数 学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转 化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化 的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化, 这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数学问 题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆
浅谈转化思想在数学中的应用 发表时间：2016-01-22T10:58:02.010Z 来源：《少年智力开发报》2014-2015学年第33期供稿作者：曹晓娜[导读] 聊城一中熟悉化就是把所遇到的“陌生”的问题转化为我们较为“熟悉”的问题。 聊城一中曹晓娜 数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是指导我们探索问题、研究问题和解决问题的尚方宝剑，它常常隐含于数学知识的发生、发展过程中。“转化思想”在数学中的应用之广，作用之大，无法用语言形容。那在数学中什么是转化思想呢？通俗地讲就是把我们不会的问题转化为我们会的问题，从而达到解决问题的的目的。在我们的实际做题过程中，经常会遵守一些转化的基本原则，下面就以几个常用原则举例说明转化思想在数学中的作用。 1、熟悉化原则 熟悉化就是把所遇到的“陌生”的问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。 例1、已，求的值。 分析：对于初一的学生来说无法直接解出关于的二元二次方程，但是若从完全平方公式着手，已知条件可以转化，又因为偶次幂具有非负性，即，所以得到，进而得出，最终问题得以解决。 2、正做难反做简单原则 在解决某些较为复杂的问题时，我们从正面考虑很困难或没有思路，但如果反过来考虑的话，问题就迎刃而解了。 例2、四边形ABCD中，AB=DC,BC=AD,E,F是AC上的两点，且AE=CF,求证：DE=BF. 分析：这个问题若有已知向后推理比较困难，但用变换方法寻找证明方法比较容易。要证DE=BF，只要证即可，要证只需证明，根据条件不难证明。这样问题就解决了。 3、简单化原则 简单化原则就是八比较复杂的问题简单化，从而使问题得以解决。 例3、因式分解 分析：该题大部分学生会利用完全平方公式进行分解，但此题有更为简单的做法，把看作整体，题目可转化为就简单多了。 对于数学中的“转化思想”还有很多，不在一一列举。事实上，“转化思想”是数学思想方法中最基本、也是最重要的一种方法，是数学方法的灵魂和精髓，理解并掌握了这种方法，许许多多的数学问题都能迎刃而解。因此，在平常的教学中，我们应着重探索和研究这一方面的问题，教师若能在平时教学中合理展示“转化思想”在数学中的广泛应用，即可以让学生明晰数学知识之间的脉络和联系，同时还可以帮助学生迅速找到探究问题的正确思路和解决问题的最简单、最容易的方法；并注重引导学生在预习、学习、练习和复习中灵活运用“转化思想”，有利于提高学生分析问题、研究问题解决问题的能力。让“转化思想”在数学教学和数学学习生活中发挥更好、更大的作用，为我们的学习和教学服务。
《用一次函数解决问题》解答题专题练习 1．星期天，李玉刚同学随爸爸妈妈回老家探望爷爷奶奶，爸爸8：30骑自行车先走，平均每小时骑行20km；李玉刚同学和妈妈9：30乘公交车后行，公交车平均速度是40km/h．爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同，路程均为40km．设爸爸骑行时间为x （h）．（1）请分别写出爸爸的骑行路程y1（km）、李玉刚同学和妈妈的乘车路程y2（km）与x（h）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）请在同一个平面直角坐标系中画出（1）中两个函数的图象； （3）请回答谁先到达老家． 2．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： （1）A、B两点之间的距离是米，甲机器人前2分钟的速度为米/分； （2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式； （3）若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为米/分； （4）求A、C两点之间的距离； （5）直接写出两机器人出发多长时间相距28米． 3．甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发 前往B地，甲出发1h后，y甲、y乙与x之间的函数图象如图所 示．（1）甲的速度是km/h； （2）当1≤x≤5时，求y乙关于x的函数解析式； （3）当乙与A地相距240km时，甲与A地相距km． 4．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系． （1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高 允许的1.0mg/L？为什么？
化归思想在初中数学解题中的应用 向阳乡初级中学 周红林 【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。 【关键词】化归思想 化归的原则 教学策略 化归思想要点 新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。
一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉简单化原则 简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定
南京师范大学泰州学院毕业论文（设计） （一三届） 题目：数学中转化思想的运用 院（系、部）：数学科学与应用学院 专业：数学与应用数学 姓名：戴涛 学号08090221 指导教师：肖艳艳 南京师范大学泰州学院教务处制
摘要：数学思想方法是数学的精髓，转化思想方法又是数学思想的核心和精髓。因新 课标下初高中数学呈现“起点高、难度大、容量多、课时紧”的特点，学生不适应学 习的现象突出，故师生们更迫切通过强化数学思想的方法，改进思想方法的教学与应用，来提高学生的数学思想能力。本文试图从转化思想的内涵与原则角度出发，并结合几种 常见的转化思想方法来探究转化思想的应用性。 关键词：数学思想；转化化归思想；应用性 Abstract:Mathematics method of thinking is the essence of mathematics, conversion method is the core and essence of mathematical thought. Because under the new curriculum in junior and senior high school mathematics "characteristics of high starting point, high difficulty, capacity, time tight", students do not adapt to the learning phenomenon is prominent, so teachers and students more urgent by strengthening mathematical thought, teaching and application of the improved method of thinking, to improve the mathematics thinking ability of students. This paper attempts to start from the connotation of transformation thought and principle, application and combination of several common methods of transformation thought to explore the transformation of thought. Keywords: Mathematical thinking, to the conversion of thinking, application
《用一次函数解决问题》教案 教学目标 1、巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题． 2、有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力． 3、让学生认识数学在现实生活中的意义，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．教学重点 1.建立函数模型. 2．灵活运用数学模型解决实际问题. 教学难点 灵活运用数学模型解决实际问题. 教学过程 一、创设情境复习导入 做一件事情，有时有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的.方案选择的问题对于我们来说并不陌生，但是书写起来比较麻烦，事实上这类问题用一次函数来解决会更好理解，书写起来也更加简捷，这节课我们就来体会一下如何运用一次函数选择最佳方案问题. 二、尝试活动探索新知 例1一种节能灯的功率为10瓦（即0.01千瓦），售价为60元；一种白炽灯的功率为60瓦（即0.06千瓦），售价为3元.两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（3000小时以上）.如果电费价格为0.5元/（千瓦×时），消费者选用哪种灯可以节省费用？ 分析：1、指出问题中的常量、变量？ 2、变量之间存在着怎样的关系？ 总结：要考虑如何节省费用，必须既考虑灯的 售价又考虑电费.不同灯的售价分别是不同的常数，而电费与照明时间成正比例，因此，总费用与灯的售价、功率这些常数有关，而且与照明时间有关，写出函数解析式是分析问题的关键. 解：设照明时间为x小时，则: y=60+0.01×0.5x; 节能灯的总费用为 1 y=60+0.005x 即： 1 y=3+0.06×0.5x 白炽灯的总费用为 2 y=3+0.03x 即： 2
《用转化思想解决问题》教学设计转化是解决问题时常用的方法，能把较复杂的问题简单化、新的问题变成较简单的、已经解决的问题。转化策略的应用非常广泛。教学以学生对转化策略的体验与主动应用为主要目的，进而可以用转化的策略解决问题。 教学目标： 1、通过仔细观出问题特点，培养学生的数感、图形感，在学习并运用转化的过程中，培养学生解决问题的主动意识和对问题解决过程的判断意识。 2、学生初步学会运用转化的策略分析问题，灵活确定解决问题的思路，并能根据问题的特点确定具体的转化方法，从而有效地解决问题。 3、学生通过回顾曾经运用转化策略解决问题的过程，从策略的角度进一步体会知识之间的联系，感受转化策略的应用价值。 4、学生进一步积累运用转化策略解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，主动克服在解决问题中遇到的困难，获得成功的体验。 教学重难点： 理解转化策略的必要性和价值，丰富学生的策略意识，初步掌握转化的方法和技巧。 设计理念： 转化法是数学解决问题时的一个重要技巧，它能分散难点，化繁为简，有迎刃而解的妙处。掌握转化策略不仅有利于问题的解决，更有益于思维的发展。在设计本课教学时注意了以下几个方面： （1）突出转化策略的实际价值。通过观察、比较、猜测、合作交流等活动形式体会策略的实际价值。 （2）合理突破运用转化策略的关键。根据问题的具体情况具体分析，从不同的角度来理解转化，尝试多种不同的方法解决问题，既充分考虑学生的思维发展水平，又便于学生实实在在地掌握转化的策略。 （3）形成积极的策略体验。不能满足于学生对“策略”一词的理解，不能把解决某一具体问题作为目标，而应让学生在解决问题的过程中形成对策略的积极的情感体验。
6.4 一次函数的应用（1） 教学目标： 1、能根据实际问题中变量之间数量的关系，确定一次函数关系式； 2、能将简单的实际问题转化为数学问题（建立一次函数），从而解决实际问题，增强学生的应用意识和创新意识。 3、.初步体会方程与函数的关系。 重点;将实际问题转化成数学问题，建立一次函数关系式。 难点：理解实际问题中的数量关系，将实际问题转化成数学问题，建立一次函数关系式，并解决实际问题。 教学过程： 一、课前复习与预习：1、已知一次函数的图像经过（1,2）,(—1,4)求一次函数的关系式。 2、直线m上有两点A（—2，—3），B（—5，-9）,求直线m的关系式。 预习：1、某校办工厂现年产值是30万元，如果每增加1元投资，一年可增加2.5元产值。那么总产值y（万元）与增加的投资额x（万元）之间的函数关系式 为。 2、某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。 写出每月电话费y (元)与通话次数x之间的函数关系 式； 二、新授 1、导入：在前几节课里，我们分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛，和我们日常生活密切相关，因此本节课我们一起来学习一次函数的应用. 2、新课讲解： 活动一 一辆汽车在普通公路上行驶了35km后，驶入高速公路，然后以105km/h的速度匀速前进。 1、你能写出这辆车行驶的路程s（Km）与它在高速公路上行驶的时间t（h）之间的关系吗？ 2、若从上高速公路开始记时，行驶了4小时到达目的地，则该车从出发点到目的地的路程有多远呢？ 3、高速公路上里程表显示行驶了175km，问车在高速公路上行了多长时间？ 问题一：车在高速公路上行驶的路程与哪些量有关系？ 问题二：车内里程表上记录的数据是汽车行驶在哪几段公路上的路程？ 活动二、 某班同学秋游时，照相共用3卷胶卷，秋游后冲洗3卷胶卷并根据同学需要加印照片，已知冲洗胶卷的价格是3.0元/卷，加印照片的价格是0.45元/张， （1）试写出冲印后的费用y（元）与加印张数x之间的关系式。 （2）如果本班共有学生40人，每人加印照片1张，共需费用多少元？ （3）如果秋游后尚结余49.5元，那么冲洗胶卷后还可以加印多少张照片？ 问题冲印合计费用的多少与什么有关？ 变式1：已知冲洗胶卷的价格是3元/卷，加印不超过100张，0.5元/张；加印超过100张可进行优惠，前100张按0.5元/张收费，超过部分按0.4元/张收费。
“转化思想”在初中数学中的应用和作用 □许记花 数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是指导我们探索问题、研究问题和解决问题的尚方宝剑，它常常隐含于数学知识的发生、发展过程中。而“转化思想”是数学思想方法中最基本、也是最重要的一种方法，“转化思想”在初中数学中的应用之广，作用之大，是无法用语言形容的，理解并掌握了这种方法，许许多多的数学问题都能迎刃而解。 一、“转化思想”初中代数中的应用和作用 1、进入初中，我们学习了用数轴上的点来表示有理数，因而计算一个数的绝对值就转化为求数轴上的点到原点的距离，这是数与形的转化。 2、两个负数大小的比较，绝对值大的反而小，这是把负数大小的比较通过取绝对值转化为正数大小的比较。这是数与数之间的转化。 3、根据减法法则，减去一个数可以转化为加上这个数的相反数，从而把有理数的减法运算转化为有理数的加法运算。这是运算与运算之间的转化。 4、类似地，除以一个不为0的数可以转化为乘以这个数的倒数，把有理数的除法运算转化为有理数的乘法运算，这是运算与运算之间转化。像这样，把复杂问题转化为简单问题，把陌生的未知问题转化为已知的学过的知识去解决，把新的问题转化为已知的或已解决的问题，这就是我们学习数学解决问题的一种常用的数学思想——转化思想。 5、而解一元一次方程的过程实质也是一种转化，是将复杂的方程逐步转化为最简单的方程。例如： 解方程： 解：去分母，得5(3x+1)-20=(3x-2)-2(2x+3) ① 去括号，得15x+5-20=3x-2-4x-6 …② 移项，得15x-3x+4x=-2-6-5+20 …③
合并同类项，得16x=7 .…④ 系数化为1，得x …⑤ 大家都知道一元一次方程的解的基本表达形式是x=a，它是一元一次方程中形式最简单的方程，而我们研究一元一次方程起点便是从这里开始的.学习了等式的基本性质，我们可以探索形如方程②、③、④形式的解法；学习了去括号法则之后，又可以探索形如方程①形式的解法；最后，学习了含分母的一元一次方程的解法。从此不难发现：我们课本知识是由浅显、简单到较难、较复杂是逐步展开的，而上述解方程的过程正好是我们课本知识展开过程的逆过程，正好符合我们解方程的数学思维过程，即把复杂的问题，逐步转化为简单的问题，把陌生的问题逐步转化为熟悉的问题，从而求得问题的解。 二、“转化思想”在初中几何中的应用和作用 学习几何知识，用几何知识分析问题、探索问题、研究问题和解决更离不开“转化思想”，几何题的解答、几何题的证明、多数定理的证明，公式的推导，也都用到“转化思想”，转化思想在数学中的应用之广，作用之大是无法测量的。例如： 1、如图：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。 用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把求∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E五个角的度数转化为一个三角形的内角和等于180°来解决的。这是角与角之间的转化。 2、多边形的内角和公式（n－2）×180°推导：利用添加辅助线的方法把n边形转化为(n-2)个三角形，利用三角形的内角和等于180°。这是图形与图形之间、角与角之间的转化。 3、直线、抛物线、双曲线可以用方程（即解析式）来表示，这是形与式的转化。直线、抛物线、双曲线交点问题，可以用求方程组解来解决，这是形、式、数之间的转化。 4、如图：△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为（-2，-1）、（3，-3）、（1，3），求△ABC 的面积。
人教版五年级上册数学思想方法的梳理 一、教材内容与思想方法的梳理： 序号内容页码蕴含数学思想方法 1 小数乘整数、乘小数：P2-5 转化思想、对比思想 2 整数乘法运算定律推广到小数：P12 类比思想、比较思想 3 循环小数：P33 极限思想 4 用字母表示数：P52-54 符号化思想 5 用字母表示数量关系：P52 对应思想、函数思想 6 方程的意义：P62 数形结合思想 7 等式的基本性质：P64 数形结合思想、变中抓不变思想 8 解简易方程：P67 数形结合思想 9 稍复杂的方程：P69 假设思想、整体思想 10 平行四边形的面积：P87 转化思想 11 三角形的面积：P91 转化思想 12 梯形的面积：P95 转化思想 13 数字编码：P134 符号化思想 二、各部分内容思想方法渗透的教学建议： 1.小数乘整数、乘小数：教材创设学生喜欢的”买风筝、放风筝“情景，引入小数乘整数的学习。转化思想的渗透：选择“进率是10的常见量”作为素材引入，利于学生根据熟悉的“元、角、分”之间的进率，将3.5元×3转化为“35角×3”来计算。比较思想的渗透：处理积中小数点的位置问题。教材在例3、例4中，均采用对比的方
法，引导学生分别观察因数和积中小数的位数，找出它们之间的关系，然后利用这一关系，准确找到小数点的位置。 2.整数乘法运算定律推广到小数：类比思想的渗透：在复习整数乘法运算定律的铺垫上，举出P12的例子，看看每组算式两边的结果是不是相等，与之前复习的知识进行类比，你能发现什么规律？从而得出整数的运算定律对于小数也适用。 3.循环小数：这是一个新知识，内容概念较多，比较抽象，是教学中的一个难点。极限思想的渗透：教学时，可以先让学生计算，多除出几位小数，让学生观察竖式看发现了什么。学生会发现商的小数部分总是不断商3，如果继续除下去能不能除尽？使学生注意到因为余数总是重复出现25，所以商就重复3，总也除不尽，体会3是无穷尽的极限思想。 4．用字母表示数：对于小学生来说，是比较抽象的内容。符号化思想的渗透：在教学中，要通过一系列的教学活动，让学生感受字母代数的优点。比如通过用字母表示运算定律，感受到数学的符号语言比文字语言更为简洁明了。 5.用字母表示数量关系：对应思想的渗透：首先引导学生完成个别情况，如小红1岁时，爸爸是1+30=31岁，小红2岁时，爸爸2+30=32岁，依次类推……让学生体会到小红和爸爸的年龄在任何一年都有一一对应的关系。函数思想的渗透：通过前面环节，由个别到一般的归纳得出a+30表示任何一年爸爸的年龄，然后再让学生代入求值，由一般到个别，进一步理解a是一个具体的岁数，a+30也是一
八年级数学上册第六章一次函数6.4用一次函数解决问题教案2 （新版）苏科版 用一次函数解决问题（2） 教学目标 【知识与能力】 能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的关系式；能将简单的实际问题转化为数学问题（建立一次函数），从而解决实际问题． 【过程与方法】 在应用一次函数解决问题的过程中，体会数学的抽象性和应用的广泛性． 【情感态度价值观】 通过具体问题的分析，进一步感受“数形结合”的思想方法——从一次函数图像中读信息，发展解决问题的能力，增强应用意识． 教学重难点 【教学重点】 能结合一次函数表达式及其图像解决简单的实际问题 【教学难点】 能结合一次函数表达式及其图像解决简单的实际问题，体会分类 教学过程 一、例题 问题2 甲、乙两家公司的月出租汽车收取的月租费分别是 1y （元）和2y （元），它们都是用车里 程x （千米）的函数，图像如图所示， （1）每月用车里程多少时，甲、乙两公司的租车费相等？ （2）每月用车里程多少时，甲公司的租车费比乙公司少？ （3）每月用车里程多少时，乙公司的租车费比甲公司少？ 观察图像，可知x ＝2000时，两个图像相交于一点，即此时两个函数的自变量相同，函数值也相同，所以，每月用车里程为2000km 时，两家公司的租车费相同．当x ＜2000时，1y ＜2y ，所以每月用车里程小于2000km ，甲公司的租车费较少．当x ＞2000时，1y ＞2y ，所
以，每月用车里程大于2000km 时，乙公司的租车费较少． 引导学生先求函数表达式，再求交点，画图像，看图说话． 引导学生发现：两条直线上升的速度存在差异，它们有一个交点，设计问题引导学生“读图”．通过这一活动，让学生熟练掌握在解决实际问题中的决策性问题的方法．根据实际情况选择方案，进而理解一次函数与方程及不等式的联系． 交流 某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地， 有两种运输方式可供选择，主要参考数据如下： 运输 方式 速度 /（千米/时） 途中综合费用 / （元/时） 装卸费用 / 元 汽车 60 270 200 火车 100 240 410 （1）请分别写出汽车、火车运输总费用y1（元）、 2y （元）与运输路程x （千米）之间的函数表达式． （2）你认为用哪种运输方式好？ 独立思考：怎样从表格中提取信息？ 分别写出汽车、火车运输总费用 1y （元）、2y （元）与运输路程x （千米）之间的函数表达 式， 1y ＝200＋4.5x ， 2y ＝410＋2.4x ． 根据函数表达式求出函数图像的交点坐标． 讨论：（1）x 为何值，y1＝ 2y ． （2）x 为何值， 1y ＞2y ． （3）x 为何值，1y ＜2y ． 合作讨论、分析探究、寻求结果，在教师指导下顺利完成活动． 通过学生的交流活动，使学生明确解决问题的基本思路和方法，是分别计算两种运输方式所需要的费用，然后再对相同的运输里程比较费用的大小．这就需要分别写出汽车、火车运输总费用1y （元）、2y （元）与运输路程x （千米）之间的函数表达式，然后对同一自变量的
转化与化归思想的应用 题型一 特殊与一般的转化 例1 已知函数f (x )＝a x a x ＋a (a >0且a ≠1)，则f ????1100＋f ????2100＋…＋f ????99100的值为________． 答案 99 2 解析 思维升华 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果． (1)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列， 则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝________. (2)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋ x )f (x )，则f ???? 52＝________. 答案 (1)4 5 (2)0 题型二，常量与变量的转化 例2， 对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围为________. 变式练习：设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为___________．(－∞，－1]∪[0，＋∞) 探究提高 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的.
题型三 函数、方程、不等式之间的转化 例3 若f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝1，则f (2 014)＝________. 答案 2 014 解析 (2)∵f (x ＋1)≤f (x ＋3)－2≤f (x )＋3－2＝f (x )＋1， f (x ＋1)≥f (x ＋4)－3≥f (x ＋2)＋2－3≥f (x )＋4－3＝f (x )＋1， ∴f (x )＋1≤f (x ＋1)≤f (x )＋1. ∴f (x ＋1)＝f (x )＋1. ∴数列{f (n )}为等差数列． ∴f (2 014)＝f (1)＋2 013×1＝2 014. (1)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范 围是________． 答案 (1)(－∞，－8] 2．关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题： ( A ) ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假． 命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 题型四 数与形的转化 例4．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (0,1)∪(9，＋∞) 解析 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|， 在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．
转化思想 【内容摘要】转化思想是高中数学基本思想方法。转化思想的运用对提升学生解题能力有很大的帮助，本文以例题的形式介绍转化思想在高中数学解题中的具体应用。 【关键词】转化思想高中数学解题 一、问题的提出 在高中数学的学习过程中，解题是提升学生能力最重要的手段。但笔者发现学生解题过程中经常会出现以下几种状况：（1）学生对于老师在课堂上讲过的题目，稍微改动就不会做了。（2）学生只懂得循规蹈矩答题，只懂得死算，经常是费时费力还算不出来。（3）有多种解题方法，学生却选择最繁琐的方法。这几种现象主要是什么原因造成的呢？笔者认为那是学生没能领会数学解题的本质，未能真正掌握数学解题的灵魂。 二、数学解题的本质与灵魂 解题有两个特征：（1）所有数学问题都是由已知条件和要解决的目标两部分组成。（2）所有数学解题都是在探求已知条件和目标之间的一条通道。因此，数学解题的本质就是在探求已知条件和目标之间的联系通道[1]。题目中的已知条件和目标自然是显而易见的，关键是如何寻求联系的通道。世界著名数学家雅洁在《什么叫解题》中指出：“解题就是
把要解的题转化为已经解过的题”。可以这样讲，学会了转化，也就懂得了如何解题。因此，笔者认为转化思想是高中数学解题的灵魂。 三、什么是转化思想 转化的思想方法是高中数学基本的思想方法。数形结合思想可以看成数与形的转化，函数与方程思想可以看成是函数、方程、不等式之间的相互转化，而分类讨论的思想却可以看成是部分与整体之间的转化[2]。转化思想是指在研究解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法[3]。其方向一般是化复杂为简单，化困难为容易，化陌生为熟悉，化未知为已知，化抽象为直观。转化的过程简单的说就是将待解的问题A，通过某种手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对容易解决或已经解决或已经有固定解决模式的问题，且通过问题B的解决可得到原问题A的解答。转化的方式和手段灵活多样，而扎实的基础知识是实现转化的前提。下文就以例题的形式来说明转化思想的具体应用。 四、转化思想的具体应用 1.一般与特殊的转化 例1：已知e1→e2→是平面单位向量，且e1→e2→=12，若平面向量a→满足a→e1→=a→e2→=1则a→=。 分析：本题如果把e1→e2→及a→用坐标来表示，按照
在教学中渗透转化与化归数学思想方法的实践意义 开封市第二十五中学杨瑞 【关键词】数学思想方法转化与化归解决问题数学的实践应用【摘要】对于高中学生来说，数学的学习一直都应是一种思维方式的训练，甚至也会是生活态度的学习，因此教师在数学教学中要渗透的就应该是数学思想方法，而不仅仅是知识的传授。 【正文】新课程改革后的人教版教材一直想传达给学生这样一种思想：数学是有用的，数学的学习可以提高能力。一直以来，都有一种数学无用论的声音，很多人觉得生活不需要数学，数学学得好远没有背几首诗词或者读几篇历史故事更能吸引别人的眼光，甚至不如懂得一些物理化学知识来得实用，这已成为数学教师的尴尬，仿佛教学仅仅是为了那张卷子上的一个分数。 实际上，学数学的人都知道在实践中，在理论中，在物质世界中，在精神世界中，数学处处都有。生活处处蕴含着数学的魅力。基本无论大到宇宙星系，小至生物微粒及人类所处事宜都散发着数学的气息。因此高中数学的教学活动中，教师就不能仅仅局限于推导数学公式，掌握公式的使用，教学中渗透思想方法会对学生进行思维方式的训练，甚至也会是生活态度的学习，因为，数学是科学的语言，是思考和解决问题的工具。 在教学中渗透化归与转化这一最重要的数学思想就对学生的思维方式和解决问题的能力有着巨大作用。高中学生要在高中阶段实现由经验型逻辑思维向理论型逻辑思维转化，最终初步形成辩证思维能力。而转化与化归思想的渗透恰恰可以在培养学生逻辑思维能力方面发挥作用。同学们都有这样的经验，解某些数学问题时，如果直接求解较为困难，可通过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题，通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法称之为“转化与化归思想”。转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的转换过程；化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。这种数学思想方法不仅可以解决数学问题，显然在生
教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 利用一次函数解决实际问题. 2.内容解析 一次函数是最基本的初等函数之一，是学习后续各类函数的基础.一次函数的核心内容是一次函数的概念、图象和性质以及应用.一次函数的图象和性质的核心，是图象“特征”、函数“特征”以及它们之间相互转化关系，这也是一次函数的本质属性所在.一次函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体.通过对实际问题图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了数形结合的思想方法. 本节课内容属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了一次函数的图象和性质的基础上,由一个贴近学生生活的中国渔政执法视频开始，利用问题串的形式，用一次函数的相关知识来解决实际问题.在具体的探究过程中，先由分析图象开始，并由分析所得的信息解决相关的实际问题，再利用几何画板将图象进行变化，由此分析其操作的实际意义并衍生处两个新的问题，最终利用一次函数的知识解决这两个问题.在解决实际问题的过程中，体会运用一次函数解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法. 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：分析实际问题的图象，利用一次函数解决具体问题. 二、目标和目标解析 1.目标 （1）掌握并运用一次函数的图象和性质，体会数形结合思想和建立函数模型研究数学问题的基本方法. （2）通过对实际问题图象的分析，进一步加深对一次函数性质的理解. （3）能够从实际问题中抽象出一次函数关系，并运用一次函数及其性质解决实际问题，发展学生的应用意识. 2.目标解析 （1）从复习一次函数的图象和性质开始，不断渗透图象中k、b、交点坐标的实际意义，体会并利用数学结合的思想来解决问题。 （2）对于问题情境中给出的三个问题，以及衍生的两个变式，无一不是通过对函数图象的分析，结合一次函数的性质来解决。在这样的过程中，巩固对性质的理解。
高三数学思想、方法、策略专题 第三讲 转化与化归思想 一．知识探究： 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。 1．转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。 2．常见的转化方法 （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题； （2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题； （3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化； （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题； （5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径； （6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径； （7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题； （8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化； （9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的； （10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集A C U 获得原问题的解决。 3．化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决； （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据； （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律； （4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；
数学的转化思想方法 数学的转化思想方法 特殊与一般的数学思想：对于在一般情况下难以求解的问题，可运用特殊化思想，通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和 方法，进而推广到一般，从而使问题顺利求解。常见情形为：用字 母表示数；特殊值的应用；特殊图形的应用；用特殊化方法探求结论；用一般规律解题等。 整体的数学思想：所谓整体思想，就是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将所需 要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想。用整体思想解题时，是 把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理， 一定要善于把握求值或求解的问题的内在结构、数与形之间的内在 结构，要敏锐地洞察问题的本质，有时也不要放弃直觉的作用，把 注意力和着眼点放在问题的整体上。常见的情形为：整体代入；整 式约简；整体求和与求积；整体换元与设元；整体变形与补形；整 体改造与合并；整体构造与操作等。分类讨论的数学思想：也称分 情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时， 我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根据题设 分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种 情况下得到的答案进行归纳综合。分类讨论是根据问题的不同情况 分类求解，它体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。运用分类讨论思想解题的关键是如何正确的进行分类，即确定分类 的标准。分类讨论的原则是：（1）完全性原则，就是说分类后各子 类别涵盖的范围之和，应当是原被分对象所涵盖的范围，即分类不 能遗漏；（2）互斥性原则，就是说分类后各子类别涵盖的范围之间，彼此互相独立，不应重叠或部分重叠，即分类不能重复；（3）统一 性原则，就是说在同一次分类中，只能按所确定的一个标准进行分类，即分类标准统一。分类的方法是：明确讨论的对象，确定对象