第45章 阅读理解型
1. (2011江苏南京，28，11分) 问题情境
已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 数学模型
设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为2()(0)a
y x x x
=+＞． 探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1
(0)y x x x
=+＞的图象性质． ① 填写下表，画出函数的图象：
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数1
y x x
=+(x ＞0)的最小值． 解决问题
⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
【答案】解：⑴①174，103，52，2，52，103，17
4
． 函数1
y x x
=+
(0)x >的图象如图．
②本题答案不唯一，下列解法供参考．
当01x <<时，y 随x 增大而减小；当1x >时,y 随x 增大而增大；当1x =时函数
1
y x x =+
(0)x >的最小值为2． ③1
y x x =+
=2
2+
=2
2+-
=2
2+
=0，即1x =时，函数1y x x =+(0)x >的最小值为2．
⑵ 2. （2011江苏南通，27，12分）（本小题满分12分）
已知A (1，0)， B (0,－1)，C (－1，2)，D (2，－1)，E (4，2)五个点，抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0），经过其中三个点. （1） 求证：C ，E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上； （2） 点A 在抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上吗？为什么？ （3）
求a 和k 的 值.
【答案】（1）证明：将C ，E 两点的坐标代入y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）得，
4292a k a k +=??+=?
，解得a ＝0，这与条件a ＞0不符， ∴C ，E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上. （2）【法一】∵A 、C 、D 三点共线（如下图），
∴A 、C 、D 三点也不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上. ∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能： ①A 、B 、C ； ②A 、B 、E ； ③A 、B 、D ； ④A 、D 、E ； ⑤B 、C 、D ； ⑥B 、D 、E .
将①、②、③、④四种情况（都含A 点）的三点坐标分别代入y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0），解得：①无解；②无解；③a ＝－1，与条件不符，舍去；④无解. 所以A 点不可能在抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上. 【法二】∵抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）的顶点为（1，k ）
假设抛物线过A (1，0)，则点A 必为抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A 、B 、C 、D 、E 中的三点，所以必过x 轴上方的另外两点C 、E ，这与（1）矛盾，所以A 点不可能在抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上. （3）Ⅰ.当抛物线经过（2）中⑤B 、C 、D 三点时，则 142a k a k +=-??
+=?，解得1
2
a k =??=-?
Ⅱ. 当抛物线经过（2）中⑥B 、D 、E 三点时，同法可求：38118a k ?=????=-??.
∴12a k =??=-?或38118a k ?
=????=-
??
.
3. （2011四川凉山州，28，12分）如图，抛物线与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，且12x x <，与y 轴交于点()0,4C -，其中12x x ，是方程2
4120x x --=的两个根。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，连接CM ，当CMN △的面积最大时，求点M 的坐标；
（3）点()4,D k 在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点F ，使以A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由。
【答案】
（1）∵2
4120x x --=，∴12x =-，26x =。 ∴(2,0)A -，(6,0)B 。
又∵抛物线过点A 、B 、C ，故设抛物线的解析式为(2)(6)y a x x =+-，将点C 的坐标代入，求得1
3
a =
。
28题图
∴抛物线的解析式为214
433
y x x =
--。 （2）设点M 的坐标为（m ，0），过点N 作NH x ⊥轴于点H （如图（1））。 ∵点A 的坐标为（2-，0），点B 的坐标为（6，0）， ∴8AB =，2AM m =+。
∵MN BC ，∴MN ABC △∥△。
∴
NH AM CO AB =，∴248NH m +=，∴2
2
m NH +=。 ∴11
22
CMN ACM AMN S S S AM CO AM NH =-=- △△△ 2121(2)(4)3224m m m m +=+-=-++ 21
(2)44
m =--+。
∴当2m =时，CMN S △有最大值4。 此时，点M 的坐标为（2，0）。 （3）∵点D （4，k ）在抛物线214
433
y x x =--上， ∴当4x =时，4k =-， ∴点D 的坐标是（4，4-）。
①
如图（2），当AF 为平行四边形的边时，AF
DE ，
∵D （4，4-），∴错误！链接无效。4DE =。 ∴1(6,0)F -，2(2,0)F 。 ②
如图（3），当AF 为平行四边形的对角线时，设(,0)F n ，
则平行四边形的对称中心为（2
2
n -，0）。 ∴E '的坐标为（6n -，4）。 把E '（6n -，4）代入214
433
y x x =--，得216360n n -+=。
解得 8n =±
3(8F -，4(8F +。
4. （2011江苏苏州，28,9分）（本题满分9分）如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即△OAB ）放在直线l 1上，OA 边与直线l 1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转120°，此时点O 运动到了点O 1处，点B 运动到了点B 1处；小慧又将三角形纸片AO 1B 1绕B 1点按顺时针方向旋转120°，点A 运动到了点A 1处，点O 1运动到了点O 2处（即顶点O 经过上述两次旋转到达O 2处）.
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O 运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO 1和弧O 1O 2，顶点O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO 1的面积、△AO 1B 1的面积和扇形B 1O 1O 2的面积之和.
图（1）
图（2）
图（3）
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC 放在直线l 2上，OA 边与直线l 2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90°，此时点O 运动到了点O 1处（即点B 处），点C 运动到了点C 1处，点B 运动到了点B 1处；小慧又将正方形纸片AO 1C 1B 1绕B 1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC 按上述方法经过3次旋转，求顶点O 经过的路程，并求顶点O 在此运动过程中所形成的图形与直线l 2围成图形的面积；若正方形OABC 按上述方法经过5次旋转，求顶点O 经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是
2
2
2041+π？ 请你解答上述两个问题.
【答案】解问题①：如图，正方形纸片OABC 经过3次旋转，顶点O 运动所形成的图形是三段弧，即弧OO 1、弧O 1O 2以及弧O 2O 3， ∴顶点O 运动过程中经过的路程为
πππ)2
2
1(1802902180190+=??+???.
顶点O 在此运动过程中所形成的图形与直线l 2围成图形的面积为
112
1
2360)2(90236019022???+??+???ππ=1+π.
正方形OABC 经过5次旋转，顶点O 经过的路程为
πππ)2
2
23(1802903180190+=??+???. 问题②：∵方形OABC 经过4次旋转，顶点O 经过的路程为
πππ)2
2
1(1802902180190+=??+??? ∴
222041+π=20×)2
2
1(+π+21π.
∴正方形纸片OABC 经过了81次旋转.